Yard. Doç. Dr. HALİL İBRAHİM VAR

Analitik Geometri

Ders Notları

 

 

 

UZAYDA DOĞRU

 

6.1. Doğrunun Denklemleri

 

(i)  Doğru üzerinde sabit bir nokta   ve herhangi bir nokta da   olmak üzere bu noktaların yer vektörleri sıra ile  a  ve  r  olsun. Doğrunun doğrultusuna paralel sabit bir vektör   ve    bir parametre olmak üzere;

 

AP =  v  olacağından   r = a +  v ………………….(1)

 

yazılabilir. (1) bağıntısına doğrunun Parametreli Vektörel Denklemi denir.

 

P  ve  A  noktalarının koordinatları sırasıyla    ve    ile gösterilir ise  (1) bağıntısından

 

 ,       ,     ……(2)

 

elde edilir. (2) bağıntılarına doğrunun Parametreli Denklemleri denir.

 

(2) denklemleri arasında    parametresi yok edilirse

 

……………………………..(3)

 

yazılabilir. (3) bağıntısına doğrunun Afin Denklemleri denir.

 

(ii) Euclid uzayında doğrunun vektörel denklemini araştıralım:  AP  ve  v  vektörlerinin paralelliğini, bu iki vektörün vektörel çarpımlarının sıfır vektörüne eşit olması şeklinde ifade edersek,

 

AP x v  = 0   bağıntısından  r x v – a x v = 0       veya

 

v x r + a x v = 0      bulunur. Bu bağıntıda   m = a x v    vektörünü tanımlarsak

 

v x r + m = 0 ……………………………………………(4) 

 

yazılabilir. (4) bağıntısına doğrunun Vektörel Denklemi ( Euclid uzayında ) denir. (4) bağıntısındaki  m   vektörüne doğrunun Moment Vektörü denir ve doğrultusu  v   olan doğru üzerinde seçilen      noktasından bağımsızdır.

 

Gerçekten, doğru üzerinde ikinci bir nokta       ve buna karşılık gelen moment vektörü de   m1   olsun. 

 

   noktasının yervektörü   b   ise   m1 = b x v   ve     sıfırdan farklı bir skaler olmak üzere    AB = v      den    b =  a + v    yazılabilir.  b   nin bu ifadesi   m1      de kullanılacak olursa,

 

 

m1 = ( a + v ) x v = a x v + v x v

 

     = a x v = m

 

elde edilir.

 

Ya da, B noktası doğru üzerinde olduğundan doğrunun denklemini sağlar.

 

O halde,

 

v x b + m = 0    dan   - b x v + m = 0   Þ  b x v = m1 = m             bulunur.

 

Dolayısıyla doğrunun Moment vektörü, yalnız doğrunun doğrultusuna bağlı bir vektördür.

 

 

Ayrıca doğrunun moment vektörü doğrultu vektörüne diktir. Bunu görmek için (4) bağıntısı v  vektörü ile skaler olarak çarpılır ise karma çarpımın özelliğinden

 

(5)   v . m = 0   Þ   v ^ m   dir.

 

Karşıt olarak  v . m = 0   ise  v x r + m = 0    denklemi bir doğrunun vektörel denklemini gösterir.

 

Gerçekten,   u  herhangi bir vektör olmak üzere 

 

{ v x a + m = 0 }  x u  Þ  ( u . v ) a – ( u . a ) v + m x u = 0    Þ

 

a = u x m + u . a v   bağıntısında   a = u x m   alınması  durumunda  u . a v = 0    dır.

        u . v     u . v                                    u . v                                        u . v

 

Buna göre  a = u x m   denklemiyle tanımlanan vektör, doğrunun vektörel denklemini

                               u . v

sağlar. Çünkü,

 

v x a = v x u x m = 1              ( v . m ) u – ( u . v ) m      = - m     sağlanır.            

                    u . v     u . v             = 0

 

Bu durumda denklem,  v x r + m = 0    bağıntısında   v x a = - m   ifadesi kullanılarak

 

v x ( r – a ) = 0   veya   v x AP = 0        şeklinde yazılabilir.

 

Bu ise    v   ve   AP   vektörlerinin paralel olduklarını, yani   P   noktasının doğrultusu   v   olan bir doğru üzerinde olduğunu gösterir.

 

Verilen bir doğrunun,  ( v , m )  doğrultu ve moment vektörleri tamamen belirli değildirler. Çünkü,  ¹ 0  bir skaler olmak üzere  ( v , m )  vektörleri de aynı doğruyu belirler.

 

Gerçekten,

 

*v x r + m = 0  Þ  ( v x r ) + m = 0

 

                                Þ  [ v x r + m ] = 0  Þ v x r + m = 0                     

 

da sağlanır.

 

Bir noktanın yervektörü, doğrunun      v x r + m = 0      denklemini sağlar ise

 

                m . r = 0    veya   - m . r = 0…………(6)

 

denklemini de sağlar. (4)  ve  (6)  bağıntıları bileşenler cinsinden

 

               *           

*                   (7)

*             

*           

     

denklem sistemini verirler. Bu dört denkleme, doğrunun Plücker Denklemleri denir. Bu denklemlerin herbiri, doğrudan geçen bir düzlemi gösterir. (7) sisteminin dört denkleminden ancak ikisi bağımsızdır. Yani, (7) düzlemlerinin hepsi de aynı bir doğrudan geçerler. Aynı doğrudan geçen bu düzlemlerden ilk üçü sırasıyla  eksenlerine paraleldirler, sonuncusu ise başlangıç noktasından geçer.

 

6.2. Doğru Üzerine Temel Problemler

 

1. Verilen İki Noktadan Geçen Doğrunun Denklemini Yazmak.

 

Verilen noktalar  A  ve  B  ,  yervektörleri de   a , b   ise   AB = b – a   vektörü doğrunun doğrultu vektörü olarak alınabilir. Bu durumda  (1)   den

 

r = a + ( b – a )          ve bileşenler cinsinden

 

        dir.

 

Doğrunun moment vektörü,   m = a x v = b x v       den    m = a x ( b – a ) = a x b    olduğundan,  (4)  denklemi 

 

         ( b- a ) x r + a x b = 0

 

yapısında yazılabilir. 

 

 

 

 

 

2. İki Düzlemin Arakesit Doğrusunun Denklemini Yazmak

 

Verilen düzlemlerin denklemleri

 

u . r + u0 = 0   ve   w . r + w0 = 0

 

olsun. Arakesit doğrusu her iki düzlem içinde bulunacağından, v  doğrultusu, düzlemlerin  u ve v dikme vektörlerine diktir. Bu durumda doğrunun  v  doğrultu vektörü,  u x w   vektörüne paralel olacağından  v = u x w   alınabilir.

 

Doğru üzerindeki herhangi bir nokta  A   ve yervektörü   a  ise,

 

m = a x v = a x ( u x w ) = ( a . w ) u – ( a . u ) w              olur.

 

Ayrıca, A  noktası her iki düzlemin de üzerinde olacağından

 

u . a + u0 = 0   Þ  u . a = - u0       ve

w .a + w0 = 0  Þ  w. a = - w0          bulunur.

 

Bu değerler moment vektörünün ifadesinde yerine konulur ise

 

m = u0 w – w0 u     bulunur. O halde, doğrunun (4)  vektörel denklemi

 

( u x w ) x r + u0 w – w0 u = 0

 

yapısına dönüşür. Doğrunun  Plücker koordinatları da

 

 

bağıntısı ile hesaplanabilir.

 

3. Bir Doğrunun Bir Düzlem İçinde Bulunması Şartlarını Yazmak

 

Doğru ve düzlemin denklemleri

 

       v x r + m = 0         ve   u . r + u0 = 0

 

olsun. Doğru ve düzleme ait herhangi bir  P  noktasının yervektörü  r   olmak üzere her iki denklemi de sağlar. Doğrunun denklemi sağdan   u  vektörü ile  vektörel olarak çarpılır ise

 

( v x r ) x u + m x u = 0  Þ   ( u . v ) r – ( u . r ) v + m x u = 0

 

bulunur.   Düzlemin denkleminden  u . r = - u0    olduğundan 

 

( u . v ) r + u0 v + m x u = 0…………………..(8)

 

elde edilir. Doğrunun her  P   noktasının düzlem içinde bulunabilmesi için  (8)  bağıntısının   P   den bağımsız olarak gerçeklenmesi gerekir. Bunun için,

 

u .v = 0    ve    u0 v + m x u = 0   

 

şartları gerçeklenmelidir. Fakat, sadece

 

u0 v + m x u = 0………………………………..(9)

 

şartının gerçeklenmesi,  (8) bağıntısının  P   noktasından bağımsız olarak gerçeklenmesi için gerek ve yeter koşuldur.

 

Gerçekten,  Þ ;

 

10) u0 ¹ 0   ise  (9)  bağıntısı  u  vektörü ile skaler olarak çarpıldığında

 

u . ( u0 v + m x u = 0 )  Þ  u0 u . v + u . ( m x u ) = 0    dan

 

u0 u . v = 0  Þ  u . v = 0            bulunur. 

 

20) u0 = 0   ise  (9)  bağıntısı   v   vektörü ile vektörel çarpıldığında

 

v x ( m x u ) = 0  Þ ( u . v ) m – ( v . m ) u = 0    dan    u . v = 0   bulunur ( m ¹ 0 ).

                                                          = 0

Karşıt olarak, Ü ; (9)  bağıntısı gerçeklenir ise doğrunun her noktası düzlemin içindedir. Gerçekten, doğru denklemi  u  vektörü ile vektörel çarpılır ise

 

( u . v ) r – ( u . r ) v + m x u = 0   ve   (9)   bağıntısı gerçeklenir ise   u . v = 0   ve     

m x u = - u0 v   olacağından

 

- ( u . r ) v – u0 v = 0  Þ  ( u . r + u0 ) v = 0   bulunur. v ¹ 0 olduğundan  u . r + u0 = 0

 

elde edilir. Bu da doğru üzerindeki her noktanın düzlem içinde olduğunu gösterir.

 

4. Bir Nokta İle Bir Doğrunun Belirledikleri Düzlemin Denklemini Yazmak.

 

Verilen nokta  A  ve yervektörü de  a  olmak üzere, A  noktasından geçmeyen bir doğrunun denklemi de   v x r + m = 0   olsun. B  noktası  doğru üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere,

 

v x b = - m…………………………………(10)

 

Aranan düzlemin dikme vektörü olarak   v x ( a – b )   vektörü alınabilir. Bu durumda aranan düzlem,  A noktasından geçen ve dikme vektörü   v x ( a – b )   vektörü olan düzlemdir. Buna göre, düzlem üzerindeki herhangi bir nokta  P ve yervektörü de r  ise

[ v x ( a – b ) ] . ( r – a ) = 0    olacağından, ayrıca (10) bağıntısı dikkate alınırsa

 

( v x a + m ) . ( r – a ) = 0          veya

 

( v x a + m ) . r – m . a = 0        olarak bulunur.

5. Bir Doğru İle Bir Düzlemin Arakesitini Bulmak

 

(i) Doğrunun denklemi  r = a +  v   ve düzlemin denklemi   u . r + u0 = 0   yapısında verilmiş olsun.  P  arakesit noktasının yervektörü   r  için

 

u . ( a + v ) + u0 = 0    olacağından

 

u . a + ( u . v ) + u0 = 0  Þ  = - u . a + u0                  

                                                             u . v

 

olarak bulunur. *nın bu değeri doğrunun parametreli vektörel denkleminde yazılırsa,  P  arakesit noktasının yervektörü;

 

r = a – u . a + u0 v = 1       [ ( u . v ) a – ( u . a ) v – u0 v ]

                u . v           u . v

veya

 

r = u x ( a x v ) – u0 v         

                 u . v

 

(ii) Doğrunun denklemi v x r + m = 0 şeklinde verilmiş olsun. Bu durumda, m = a x v    olacağından  (i)  şıkkından  P  arakesit noktasının yervektörü,

 

r = u x m – u0 v

             u . v

 

olarak bulunur.

 

6. Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Dik Uzaklığını Bulmak.

 

Doğrunun denklemi  v x r + m = 0  ve  P  de doğrunun üzerinde olmayan bir nokta olsun. P  noktasının doğru üzerindeki ayak noktası  Q  olmak üzere sırası ile yervektörleri    p   ve   q   olsun. Buna göre  v . QP = 0  olacağından  v . ( p – q ) = 0  veya  v . p = v . q   dır. Ayrıca  Q  doğru üzerinde olduğundan   v x q + m = 0   dır. Bu denklem  v  vektörü ile vektörel çarpılırsa (sağdan),

 

( v x q ) x v + m x v = 0 Þ v2 q – ( v . q ) v + m x v = 0

 

bağıntısında  v . p = v . q  eşitliği kullanılırsa, Q  ayak noktasının yervektörü;

 

q = ( v . p ) v – m x v  ……………………………(11)

                   v2

 

olarak bulunur.

 

P  noktasının doğruya dik uzaklığı   d = QP   ise

 

d2 = ( p – q )2 = { p – ( v . p ) v – m x v  }2

                                               v2    

 

                       = { v2 p – ( v . p ) v + m x v }2

                                                v2

 

veya

 

                  d2 = { [ ( v x p ) + m ] x v }2 ……………..(12)            

                                            v2

elde edilir.

 

(12) bağıntısının paydasını incelersek;

 

[ ( v x p ) + m ] . v = ( v x p ) . v + m . v = 0   olduğundan

 

                  d2 = [ ( v x p ) + m ]2 v2         ve bu ifadeden de

                                      ( v2 )2

                

                  d  = { ( v x p + m )2 }1/2       bulunur.

                                      v2

 

7. İki Doğrunun Ortak Bir Noktasının Bulunması Şartını Yazmak.

 

İki doğru  d  ve  d¢  olmak üzere, denklemleri sırası ile

 

v x r + m = 0   ve    v¢ x r + m¢ = 0

 

olsun. Arakesit noktası her iki doğru denklemini de sağlayacağından, birinci denklem  v¢  vektörü ile ikinci denklem  v   vektörü ile skaler çarpılıp taraf tarafa toplanır ise;

 

v¢ . ( v x r ) + v¢ . m + v . ( v¢ x r ) + v . m¢ = 0     ve

 

v¢ . ( v x r ) = [ v¢ v  r ] = - [ v  v¢ r ]

 

                                     = - { v . ( v¢ x r ) }

 

olacağından

 

K ( d , d¢ ) = v . m¢ + v¢. m = 0……………………...(13)

 

bulunur. (13) bağıntısı  d  ve  d¢  doğrularının ortak noktalarının olması için gerek şarttır. Şimdi, (13)  bağıntısının iki doğrunun ortak noktasının var olması için yeter şart olduğunu görelim:  d  doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta  P   ve  d¢  doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta   Q  olmak üzere bu noktaların yervektörleri de sırası ile  p  ve   q  olsun. Bu durumda,

 

v x p + m = 0   ve   v¢ x q + m¢ = 0      dır.

 

Birinci denklem  v¢  ile ikinci denklem  v  ile skaler olarak çarpılıp taraf tarafa toplanır ise

 

v