Yard. Doç. Dr. HALİL İBRAHİM VAR

Analitik Geometri

Ders Notları

UZAYDA DOĞRU

6.1. Doğrunun Denklemleri

(i) Doğru üzerinde sabit bir nokta ve herhangi bir nokta da olmak üzere bu noktaların yer vektörleri sıra ile a ve r olsun. Doğrunun doğrultusuna paralel sabit bir vektör ve bir parametre olmak üzere;

AP = v olacağından r = a + v ………………….(1)

yazılabilir. (1) bağıntısına doğrunun Parametreli Vektörel Denklemi denir.

P ve A noktalarının koordinatları sırasıyla ve ile gösterilir ise (1) bağıntısından

, , ……(2)

elde edilir. (2) bağıntılarına doğrunun Parametreli Denklemleri denir.

(2) denklemleri arasında parametresi yok edilirse

……………………………..(3)

yazılabilir. (3) bağıntısına doğrunun Afin Denklemleri denir.

(ii) Euclid uzayında doğrunun vektörel denklemini araştıralım: AP ve v vektörlerinin paralelliğini, bu iki vektörün vektörel çarpımlarının sıfır vektörüne eşit olması şeklinde ifade edersek,

AP x v = 0 bağıntısından r x v – a x v = 0 veya

v x r + a x v = 0 bulunur. Bu bağıntıda m = a x v vektörünü tanımlarsak

v x r + m = 0 ……………………………………………(4)

yazılabilir. (4) bağıntısına doğrunun Vektörel Denklemi ( Euclid uzayında ) denir. (4) bağıntısındaki m vektörüne doğrunun Moment Vektörü denir ve doğrultusu v olan doğru üzerinde seçilen noktasından bağımsızdır.

Gerçekten, doğru üzerinde ikinci bir nokta ve buna karşılık gelen moment vektörü de m₁ olsun.

noktasının yervektörü b ise m₁ = b x v ve sıfırdan farklı bir skaler olmak üzere AB = v den b = a + v yazılabilir. b nin bu ifadesi m₁ de kullanılacak olursa,

m₁ = ( a + v ) x v = a x v + v x v

= a x v = m

elde edilir.

Ya da, B noktası doğru üzerinde olduğundan doğrunun denklemini sağlar.

O halde,

v x b + m = 0 dan - b x v + m = 0 Þ b x v = m₁ = m bulunur.

Dolayısıyla doğrunun Moment vektörü, yalnız doğrunun doğrultusuna bağlı bir vektördür.

Ayrıca doğrunun moment vektörü doğrultu vektörüne diktir. Bunu görmek için (4) bağıntısı v vektörü ile skaler olarak çarpılır ise karma çarpımın özelliğinden

(5) v . m = 0 Þ v ^ m dir.

Karşıt olarak v . m = 0 ise v x r + m = 0 denklemi bir doğrunun vektörel denklemini gösterir.

Gerçekten, u herhangi bir vektör olmak üzere

{ v x a + m = 0 } x u Þ ( u . v ) a – ( u . a ) v + m x u = 0 Þ

a ₌ ^{u x m} ₊ ^{u . a} v bağıntısında a ₌ ^{u x m} alınması durumunda ^{u . a} v ₌ 0 dır.

u . v u . v u . v u . v

Buna göre a ₌ ^{u x m} denklemiyle tanımlanan vektör, doğrunun vektörel denklemini

u . v

sağlar. Çünkü,

v x a ₌ v x ^{u x m} ₌ ¹ ( v . m ) u – ( u . v ) m ₌ - m sağlanır.

u . v u . v = 0

Bu durumda denklem, v x r + m = 0 bağıntısında v x a = - m ifadesi kullanılarak

v x ( r – a ) = 0 veya v x AP = 0 şeklinde yazılabilir.

Bu ise v ve AP vektörlerinin paralel olduklarını, yani P noktasının doğrultusu v olan bir doğru üzerinde olduğunu gösterir.

Verilen bir doğrunun, ( v , m ) doğrultu ve moment vektörleri tamamen belirli değildirler. Çünkü, ¹ 0 bir skaler olmak üzere ( v , m ) vektörleri de aynı doğruyu belirler.

Gerçekten,

v x r + m = 0 Þ ( v x r ) + m = 0

Þ [ v x r + m ] = 0 Þ v x r + m = 0

da sağlanır.

Bir noktanın yervektörü, doğrunun v x r + m = 0 denklemini sağlar ise

m . r = 0 veya - m . r = 0…………(6)

denklemini de sağlar. (4) ve (6) bağıntıları bileşenler cinsinden

(7)

denklem sistemini verirler. Bu dört denkleme, doğrunun Plücker Denklemleri denir. Bu denklemlerin herbiri, doğrudan geçen bir düzlemi gösterir. (7) sisteminin dört denkleminden ancak ikisi bağımsızdır. Yani, (7) düzlemlerinin hepsi de aynı bir doğrudan geçerler. Aynı doğrudan geçen bu düzlemlerden ilk üçü sırasıyla eksenlerine paraleldirler, sonuncusu ise başlangıç noktasından geçer.

6.2. Doğru Üzerine Temel Problemler

1. Verilen İki Noktadan Geçen Doğrunun Denklemini Yazmak.

Verilen noktalar A ve B , yervektörleri de a , b ise AB = b – a vektörü doğrunun doğrultu vektörü olarak alınabilir. Bu durumda (1) den

r = a + ( b – a ) ve bileşenler cinsinden

dir.

Doğrunun moment vektörü, m = a x v = b x v den m = a x ( b – a ) = a x b olduğundan, (4) denklemi

( b- a ) x r + a x b = 0

yapısında yazılabilir.

2. İki Düzlemin Arakesit Doğrusunun Denklemini Yazmak

Verilen düzlemlerin denklemleri

u . r + u₀ = 0 ve w . r + w₀ = 0

olsun. Arakesit doğrusu her iki düzlem içinde bulunacağından, v doğrultusu, düzlemlerin u ve v dikme vektörlerine diktir. Bu durumda doğrunun v doğrultu vektörü, u x w vektörüne paralel olacağından v = u x w alınabilir.

Doğru üzerindeki herhangi bir nokta A ve yervektörü a ise,

m = a x v = a x ( u x w ) = ( a . w ) u – ( a . u ) w olur.

Ayrıca, A noktası her iki düzlemin de üzerinde olacağından

u . a + u₀ = 0 Þ u . a = - u₀ ve

w .a + w₀ = 0 Þ w. a = - w₀ bulunur.

Bu değerler moment vektörünün ifadesinde yerine konulur ise

m = u₀ w – w₀ u bulunur. O halde, doğrunun (4) vektörel denklemi

( u x w ) x r + u₀ w – w₀ u = 0

yapısına dönüşür. Doğrunun Plücker koordinatları da

bağıntısı ile hesaplanabilir.

3. Bir Doğrunun Bir Düzlem İçinde Bulunması Şartlarını Yazmak

Doğru ve düzlemin denklemleri

v x r + m = 0 ve u . r + u₀ = 0

olsun. Doğru ve düzleme ait herhangi bir P noktasının yervektörü r olmak üzere her iki denklemi de sağlar. Doğrunun denklemi sağdan u vektörü ile vektörel olarak çarpılır ise

( v x r ) x u + m x u = 0 Þ ( u . v ) r – ( u . r ) v + m x u = 0

bulunur. Düzlemin denkleminden u . r = - u₀ olduğundan

( u . v ) r + u₀ v + m x u = 0…………………..(8)

elde edilir. Doğrunun her P noktasının düzlem içinde bulunabilmesi için (8) bağıntısının P den bağımsız olarak gerçeklenmesi gerekir. Bunun için,

u .v = 0 ve u₀ v + m x u = 0

şartları gerçeklenmelidir. Fakat, sadece

u₀ v + m x u = 0………………………………..(9)

şartının gerçeklenmesi, (8) bağıntısının P noktasından bağımsız olarak gerçeklenmesi için gerek ve yeter koşuldur.

Gerçekten, Þ ;

1⁰) u₀ ¹ 0 ise (9) bağıntısı u vektörü ile skaler olarak çarpıldığında

u . ( u₀ v + m x u = 0 ) Þ u₀ u . v + u . ( m x u ) = 0 dan

u₀ u . v = 0 Þ u . v = 0 bulunur.

2⁰) u₀ = 0 ise (9) bağıntısı v vektörü ile vektörel çarpıldığında

v x ( m x u ) = 0 Þ ( u . v ) m – ( v . m ) u = 0 dan u . v = 0 bulunur ( m ¹ 0 ).

= 0

Karşıt olarak, Ü ; (9) bağıntısı gerçeklenir ise doğrunun her noktası düzlemin içindedir. Gerçekten, doğru denklemi u vektörü ile vektörel çarpılır ise

( u . v ) r – ( u . r ) v + m x u = 0 ve (9) bağıntısı gerçeklenir ise u . v = 0 ve

m x u = - u₀ v olacağından

- ( u . r ) v – u₀ v = 0 Þ ( u . r + u₀ ) v = 0 bulunur. v ¹ 0 olduğundan u . r + u₀ = 0

elde edilir. Bu da doğru üzerindeki her noktanın düzlem içinde olduğunu gösterir.

4. Bir Nokta İle Bir Doğrunun Belirledikleri Düzlemin Denklemini Yazmak.

Verilen nokta A ve yervektörü de a olmak üzere, A noktasından geçmeyen bir doğrunun denklemi de v x r + m = 0 olsun. B noktası doğru üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere,

v x b = - m…………………………………(10)

Aranan düzlemin dikme vektörü olarak v x ( a – b ) vektörü alınabilir. Bu durumda aranan düzlem, A noktasından geçen ve dikme vektörü v x ( a – b ) vektörü olan düzlemdir. Buna göre, düzlem üzerindeki herhangi bir nokta P ve yervektörü de r ise

[ v x ( a – b ) ] . ( r – a ) = 0 olacağından, ayrıca (10) bağıntısı dikkate alınırsa

( v x a + m ) . ( r – a ) = 0 veya

( v x a + m ) . r – m . a = 0 olarak bulunur.

5. Bir Doğru İle Bir Düzlemin Arakesitini Bulmak

(i) Doğrunun denklemi r = a + v ve düzlemin denklemi u . r + u₀ = 0 yapısında verilmiş olsun. P arakesit noktasının yervektörü r için

u . ( a + v ) + u₀ = 0 olacağından

u . a + ( u . v ) + u₀ = 0 Þ _{= -} ^{u . a + u0}

u . v

olarak bulunur. nın bu değeri doğrunun parametreli vektörel denkleminde yazılırsa, P arakesit noktasının yervektörü;

r = a _– ^{u . a + u0} v ₌ ¹ [ ( u . v ) a – ( u . a ) v – u₀ v ]

u . v u . v

veya

r = ^{u x ( a x v ) – u0 v}

u . v

(ii) Doğrunun denklemi v x r + m = 0 şeklinde verilmiş olsun. Bu durumda, m = a x v olacağından (i) şıkkından P arakesit noktasının yervektörü,

r = ^{u x m – u0 v}

u . v

olarak bulunur.

6. Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Dik Uzaklığını Bulmak.

Doğrunun denklemi v x r + m = 0 ve P de doğrunun üzerinde olmayan bir nokta olsun. P noktasının doğru üzerindeki ayak noktası Q olmak üzere sırası ile yervektörleri p ve q olsun. Buna göre v . QP = 0 olacağından v . ( p – q ) = 0 veya v . p = v . q dır. Ayrıca Q doğru üzerinde olduğundan v x q + m = 0 dır. Bu denklem v vektörü ile vektörel çarpılırsa (sağdan),

( v x q ) x v + m x v = 0 Þ v² q – ( v . q ) v + m x v = 0

bağıntısında v . p = v . q eşitliği kullanılırsa, Q ayak noktasının yervektörü;

q ₌ ^{( v . p ) v – m x v} ……………………………(11)

v²

olarak bulunur.

P noktasının doğruya dik uzaklığı d = QP ise

d² ₌ ( p – q )² = { p – ^{( v . p ) v – m x v} }²

v²

= { ^{v2 p – ( v . p ) v + m x v} }²

v²

veya

d² = { ^{[ ( v x p ) + m ] x v} }² ……………..(12)

v²

elde edilir.

(12) bağıntısının paydasını incelersek;

[ ( v x p ) + m ] . v = ( v x p ) . v + m . v = 0 olduğundan

d² ₌ ^{[ ( v x p ) + m ]2 v2} ve bu ifadeden de

( v² )²

d = { ^{( v x p + m )2} }^1/2 bulunur.

v²

7. İki Doğrunun Ortak Bir Noktasının Bulunması Şartını Yazmak.

İki doğru d ve d¢ olmak üzere, denklemleri sırası ile

v x r + m = 0 ve v¢ x r + m¢ = 0

olsun. Arakesit noktası her iki doğru denklemini de sağlayacağından, birinci denklem v¢ vektörü ile ikinci denklem v vektörü ile skaler çarpılıp taraf tarafa toplanır ise;

v¢ . ( v x r ) + v¢ . m + v . ( v¢ x r ) + v . m¢ = 0 ve

v¢ . ( v x r ) = [ v¢ v r ] = - [ v v¢ r ]

= - { v . ( v¢ x r ) }

olacağından

K ( d , d¢ ) = v . m¢ + v¢. m = 0……………………...(13)

bulunur. (13) bağıntısı d ve d¢ doğrularının ortak noktalarının olması için gerek şarttır. Şimdi, (13) bağıntısının iki doğrunun ortak noktasının var olması için yeter şart olduğunu görelim: d doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta P ve d¢ doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta Q olmak üzere bu noktaların yervektörleri de sırası ile p ve q olsun. Bu durumda,

v x p + m = 0 ve v¢ x q + m¢ = 0 dır.

Birinci denklem v¢ ile ikinci denklem v ile skaler olarak çarpılıp taraf tarafa toplanır ise

v¢ . ( v x p ) + v¢ . m + v . ( v¢ x q ) + v . m¢ = 0

ve (13) bağıntısı dikkate alınır ise

v¢ . ( v x p ) + v . ( v¢ x q ) = 0

ifadesi düzenlenir ise

v¢ . ( v x p ) - v¢ . ( v x q ) = 0, ya da

v¢ . [ v x p – v x q ] = 0 Þ v¢ . [ v x ( p – q ) ] = 0 Þ [ v v¢ QP ] = 0

elde edilir. Karma çarpımın sıfır olmasından v , v¢ ve QP vektörleri aynı bir düzleme paraleldirler, yani buradan doğruların ortak bir noktaları bulunduğu sonucu çıkar. Çünkü bu üç vektörün ikisinin oluşturduğu doğruyu taşıyan bir düzlem oluşturulması halinde, üçüncünün oluşturacağı doğru da bu düzlem içindedir. Bu da (13) bağıntısının d ve d¢ doğrularının ortak noktasının olması için yeter şart olduğunu gösterir.

Sonuç olarak,

v x r + m = 0 , v¢ x r + m¢ = 0

doğrularının ortak noktalarının var olması için g.y.k. (13) bağıntısıdır.

d ve d¢ doğruları (13) bağıntısını gerçeklesin. O halde, bir A arakesit noktası vardır ve yervektörü a olmak üzere;

v x a + m = 0 ve v¢ x a + m¢ = 0

a . m = 0 a . m¢ = 0

bağıntıları gerçeklenir. Şimdi, birinci bağıntı m¢ ile vektörel olarak çarpılır ise

m¢ x ( v x a ) + m¢ x m = 0 Þ ( m¢ . a ) v – ( m¢ . v ) a + m¢ x m = 0

= 0

Þ a ₌ ^{m¢ x m} elde edilir. Aynı işlem, ikinci denklem m ile vektörel olarak çarpılıp

m¢ . v

yapılsa idi,

( m . a ) v¢ - ( m . v¢ ) a + m x m¢ = 0 Þ a ₌ ^{m x m¢}

m . v¢

bulunacağından

a ₌ ^{m¢ x m} ₌ ^{m x m¢}

m¢ . v m . v¢

olarak bulunur. Veya,

K ( d , d¢) = m . v¢ + m¢. v = 0 Þ m . v¢ = - m¢ . v

Olduğundan

a ₌ ^{m¢ x m} ₌ ^{- ( m x m¢ )} ₌ ^{m x m¢}

^{m¢ . v - m . v¢ m . v¢}

bulunur.

Doğruları içeren düzlemin denklemi: Düzlemin dikme vektörü, doğruların doğrultu vektörlerine dik olacağından v x v¢ alınabilir. Düzlemin herhangi bir noktası P ve yervektörü r olmak üzere AP düzlem içinde olacağından

( v x v¢ ) . AP = 0

olur. Ayrıca,

a ₌ ^{m x m¢} ₌ ^{m¢ x m} olduğundan

^{m . v¢ m¢ . v}

( v x v¢ ) . ( r – ^{m x m¢} ) = 0 Þ ( v x v¢ ) . r _– ¹ . { ( v x v¢ ) . ( m x m¢ ) } = 0 Þ

^{m . v¢ m . v¢}

( v x v¢ ) . r ₊ ¹ . { ( v . m ) ( v¢ . m¢ ) + ( v . m¢ ) ( v¢ . m ) } = 0

^{m . v¢ = 0 = 0}

( v x v¢ ) . r + m¢ . v = 0

olarak bulunur.

8. Aykırı ( Kesişmeyen ) İki Doğruyu Dik Olarak Kesen Doğru.

Aykırı iki doğruyu dik kesen doğruya, bu iki doğrunun Ortak Dikmesi denir. Şimdi, her aykırı doğru çiftinin bir Ortak Dikmesi olduğunu gösterelim.

(1⁰) Doğrular ( Aykırı ) r = a + l v ve r = a¢ + l¢v¢ parametreli vektörel denklemleri ile verilmiş olsunlar. Sırasıyla doğrular üzerinde alınan herhangi birer nokta Q, Q¢ ve yervektörleri de q, q¢ olsun. Bu durumda,

q = a + l v ve q¢ = a¢ + l¢ v¢ olacağından

QQ¢ = q¢ - q = ( a¢ -a ) + l¢ v¢ - l v dir.

Şimdi, QQ¢ vektörünü her iki doğruya dik olacak şekilde belirlemeye çalışalım;

QQ¢ vektörü r = a + l v doğrusuna dik ise QQ¢ . v = 0

QQ¢ vektörü r = a¢ + l¢ v¢ doğrusuna dik ise QQ¢ . v¢ = 0

olacağından

( a¢ - a ) . v + ( v¢ . v ) l¢ - v² l = 0

( a¢ - a ) . v¢ + v¢² l¢ - ( v . v¢ ) l = 0………………..(14)

bağıntıları elde edilir. (14) bağıntıları, dikkat edilirse, l ve l¢ bilinmeyenlerinin homojen olmayan bir lineer denklem sistemidir. Bilinmeyen sayısı, denklem sayısına eşit olduğundan sistem Cramer sistemidir. O halde, katsayılar matrisinin determinantına bakılırsa

v² - v¢ . v

= - v² . v¢² + ( v . v¢ )²

v . v¢ - v¢²

= - { ( v x v¢ )² } ( Lagrange Özdeşliği )

bulunur.

1⁰) v x v¢ = 0 ise v // v¢ yani, aykırı iki doğru paralel ise v = m v¢ olacağından

m ( a¢ - a ) . v¢ + m v¢² l¢ - m² v¢² l = 0…………(I)

( a¢ - a ) . v¢ + v¢² l¢ - m v¢² l = 0………………(II) Þ m (II) = (I)

bağıntıları orantılıdır. Bu durumda (14) sisteminin sonsuz çözümü vardır. Başka bir ifadeyle, paralel iki doğrunun orta dikmelerinin sayısı sonsuzdur.

2⁰) v x v¢ ¹ 0 ise (14) denklem sisteminin tek bir çözümü vardır. Başka bir ifadeyle, paralel olmayan aykırı her doğru çiftinin tek bir orta dikmesi vardır.

(ii) Aykırı doğrular v x r + m = 0 ve v¢ x r + m¢ = 0 vektörel denklemleri ile verilmiş olsunlar. Paralel olmayan bu doğrulara dik doğrunun doğrultu vektörü olarak v¢¢ = v x v¢ alınabilir. Doğrunun m¢¢ moment vektörü ise v¢¢ vektörüne diktir. Ayrıca, v¢¢ vektörü de v ve v¢ vektörlerinin belirlediği düzleme dik olduğundan m¢¢ , v ve v¢ vektörleri aynı bir düzleme paraleldir. Moment vektörü noktadan bağımsız olduğundan, m¢¢ vektörü v ve v¢ nün belirlediği düzlemin içindedir. Bu durumda v ve v¢ vektörlerinin karşıt vektörleri v^* ve v¢^* olmak üzere m¢¢ = a v^* + b v¢^* yazılabilir. m¢¢ nün bu ifadesi sırasıyla v ve v¢ ile skaler olarak çarpılırsa a = v . m¢¢ ve b = v¢ . m¢¢ bulunur.

( v¢¢ , m¢¢ ) orta dikmesi, ( v , m ) ve ( v¢ , m¢ ) doğrularını kestiğinden; iki doğrunun kesişme şartından,

v¢¢ . m + m¢¢ . v = 0 ve v¢¢ . m¢ + m¢¢ . v¢ = 0 olur.

Buna göre,

a = v . m¢¢ = - v¢¢ . m = - ( v x v¢ ) . m = -[ v v¢ m ]

b = v¢ . m¢¢ = - v¢¢ . m¢ = - ( v x v¢ ) . m¢ = - [ v v¢ m¢ ]

dır. Bu değerler m¢¢ nün ifadesinde kullanılırsa,

m¢¢ = - { [ v v¢ m ] v^* + [ v v¢ m¢ ] v¢^* }

bulunur.

9. Aykırı İki Doğrunun Dik Uzaklığını Bulmak.

Aranılan uzaklık; 8. problemdeki Q ve Q¢ noktaları arasındaki uzaklıktır. O halde, Q ve Q¢ noktaları bulunup iki nokta arasındaki uzaklık kavramından istenen bulunur.

QQ¢ vektörü ile v x v¢ vektörünün doğrultuları aynı olduğundan, v x v¢ doğrultu ( ve yönündeki ) birim vektör ^{v x v¢ dir. Skaler çarpımın özelliğinden,}

^{[ ( v x v¢)2 ]1/2}

d = ½QQ¢ ½ = ½ QQ¢ . ^{v x v¢} ½ Þ

^{[ ( v x v¢)2 ]1/2}

d = ½ ^{( q¢ - q ) . ( v x v¢ )} ½ = ½^{[ q¢ v v¢ ] – [ q v v¢ ]} ½

^{[ ( v x v¢)2 ]1/2 [ ( v x v¢)2 ]1/2}

dır. Ayrıca; m = q x v ve m¢ = q¢ x v¢ olduğundan

d = | ^{-m¢ . v – m . v¢} | veya d = | ^{-m . v¢ – m¢ . v} |

^{[ ( v x v¢)2 ]1/2 [ ( v x v¢)2 ]1/2}

elde edilir.

K ( d , d¢ ) = 0 ise (15) den bu iki doğrunun dik uzaklığı d = 0 dır.

Doğruların paralel olması durumunda v = v¢ alınabileceğinden, Q ve Q¢ ayak noktaları aracılığı ile

m = q x v ve m¢ = q¢ x v

dır. Bu bağıntılar taraf tarafa çıkartılırsa

m¢ - m = q¢ x v – q x v

= ( q¢ - q ) x v , yani

m¢ - m = QQ¢ x v bulunur. Eşitliğin her iki tarafının skaler karesi alınır ise

( m¢ - m )² = | QQ¢ |² v² dır. ( QQ¢ . v = 0 dır. )

Buradan da // iki doğru arasındaki dik uzaklık

d = | QQ¢ |² = { ^{( m¢ - m )2} }^1/2...........................(15)₁

v²

olarak bulunur.

d = 0 ise (15)₁ den ( m¢ - m )² = 0 olacağından m¢ - m = 0 Þ m = m¢ ve v = v¢ idi. O halde, d ve d¢ doğruları çakışıktır.

10. Ortak Dikme Yardımı ile İki Doğrunun Denklemlerini Bulma.