ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

Üstel Fonksiyonlar

b¹ 1 olan bir pozitif sabit sayı ve x herhangi bir gerçel sayı olmak üzere

biçiminde tanımlı bir f fonksiyonuna bir üstel fonksiyon denir.

Bilindiği gibi n bir doğal sayı ise, bu durumda

şeklinde yazılabilirdir. Ayrıca, eğer b ¹ 0 ise

olduğunu da bilmektesiniz. Yine m ve n herhangi iki tamsayı olmak üzere

dir. Bu tanımlama bize x 'in rasyonel değerler aldığında b^x 'in ne olacağını verir. Şimdi x 'in tanım kümesini gerçel ekseni kapsayacak şekilde genişletelim. b= 2 ve önce r rasyonel olsun.

Şekilde görüldüğü üzere bunlar (r,2r) koordinatlı noktalardır. Şimdi ise, x bir rasyonel sayı olmasın ve x 'in tanım kümesini tüm gerçel ekseni içine alacak şekilde genişletmeye çalışalım. Bu durumda aşağıda verilen teorem bize yardımcı olacaktır.

Teorem 1 1 den büyük bir gerçel sayı b olsun. Bu durumda her x gerçel sayısı için bir tek b ^x gerçel sayısı vardır. Ayrıca p ve q, p<x<q olacak şekilde iki rasyonel sayı ise, bu durumda

dir.

Bu teoreme göre örneğin

olduğundan

eşitsizliğini elde edebiliriz.

Örnek 1 ( Bir üstel fonksiyonun grafiği ) x in rasyonel değerleri için elde edilen ikilileri çizdirelim (aşağıdaki düğmeye tıklayınız). Görüldüğü üzere grafik oldukça belirgindir, ama boşluklardan oluşmaktadır. Aslında bu boşluklar x in irrasyonel değerlerine karşı gelen boşluklardır. Bu boşlukların arasını doldurarak bir düzgün eğri elde edilebilir (aşağıdaki düğmeye tıklayınız). Şimdi x 'in irrasyonel değerleri için Teorem 1 'i uygulayalım. x = 3^1/2 için (x,2^x) noktasını inceleyelim. 3^1/2 sayısı irrasyonel olduğundan bu sayının ondalık kısmı belli bir haneden sonra kesilmemekte ve tekrar etmemektedir. Başka bir deyişle 3^1/2 sayısı rasyonel sayıların bir dizisinin limitidir, yani

olmaktadır. Böylece

sayısı ise,

sayılarından oluşan dizinin limitidir. Grafik olarak ise 1, 1.7, 1.73,… sayıları 3^1/2 sayısına yakınsadığında (1,2), (1.7,2^1.7), (1.73,2^1.73),… çiftleride y = 2^x fonksiyonunun grafiğinde x=3^1/2 için elde edilen boşluğa yakınsamaktadır.

Herhangi bir b>1 için y=b^x 'in grafiği y=2^x 'in grafiğine benzemektedir. 0<b<1 durumunda ise, grafik şekilde verilmiştir. Bu durumda c=1/b alınırsa c>1 dir ve böylece sırasıyla y=b^x, y=b^-x fonksiyonları ile y=c^-x, y=c^x fonksiyonları aynıdır.

Üstel fonksiyonların özelliklerini aşağıdaki teorem ile verebiliriz.

Teorem 2 x, y gerçel sayılar ve a, b pozitif gerçel sayılar olsunlar. Bu durumda:

eşitlik kuralı eğer b ¹ 1 ise, b^x=b^y olması için gerekli

ve yeterli koşul x=y olmasıdır.

eşitsizlik kuralı eğer x>y ve b>1 ise , b^x>b^y 'dir ve

x>y ve 0<b<1 ise, b^x<b^y 'dir

çarpım kuralı b^xb^y=b^x+y

bölüm kuralı b^x/b^y = b^x-y

kuvvet kuralı (b^x)^y=b^xy, (ab)^x=a^xb^x, (a/b)^x =a^x/b^x

Grafiksel Özellikler y=b^x fonksiyonun grafiği daima x -ekseninin üzerinde kalır (, yani b^x>0). Ayrıca b>1 için grafik artan ve 0<b<1 için grafik azalandır. Kısacası f(x)=b^x fonksiyonu bir monoton fonksiyondur. Sizde aşağıdaki düğmeye tıklayarak farklı b değerleri için f(x)=b^xfonksiyonunun grafiğini çizdirebilirsiniz.

Örnek 2.

i.)
ii.)
iii.)

Logaritmik Fonksiyonlar

Eğer b>0, b¹ 1 ise, f(x)=b^x üstel fonksiyonunun monoton ve tersininde var ve monoton olduğunu gördük Üstel fonksiyonun tersine b tabanına göre x 'in logaritması denir.

Logaritmik Fonksiyon Eğer b>0 ve b ¹ 1 ise, b tab anına göre x 'in logaritması b^y=x denklemini sağlayan bir y=log_bx fonksiyonudur.

y=log_bx fonksiyonu b^y>0 olması nedeni ile sadece x>0 değerleri için tanımlıdır. Şekilde b>1 için y=log_bx fonksiyonunun grafiği görülmektedir. Bu y=x doğrusu boyunca y=b^x 'in bir yansımasıdır. Her x için b^x>0, dolayısıyle y=b^x sürekli ve artan olduğundan log _bx fonksiyonuda süreklidir, artandır ve grafiği y-ekseninin sağ tarafında bulunur.