FONCTIONS

Definition: Soit deux ensembles E et F. On appelle fonction de E vers F toute relation de E sur F telle que tout element de E soit en relation avec au plus un element de F. Une fonction f de E vers F se note comme ci-dessous:

x = la variable indépendant

y = la variable dépendant de la fonction

E = l’ensemble de départ de la fonction

F = l’ensemble d’arrivée de la fonction

Pour un couple ordonnée de (x,y): x est l’antécedant de y

y est l’image de x

Remarque: Ainsi la condition pour etre une fonction revient a dire que tout element de l’ensemble de départ a au plus une image dans l’ensemble d’arrivée.

Représentation sur un diagramme sagittal

Fonctions Particulieres:

Fonction identité: La fonction définie d’un ensemble E sur lui-meme par,

s’appelle la fonction identité de E. On la note .

Fonction constante: Une fonction constante sur un ensemble E est

ou “ c “ est une constante c’est a dire qui ne varie pas en fonction de x .

Fonction linéaire: Une fonction définie par,

ou “a” est une constante de , s’appelle une fonction linéaire de E .

Fonction affine: Une fonction définie par

ou “a” et “b” sont des constantes de , s’appelle une fonction affine de E .

Egalité des Fonctions:

Définition: On dit que deux fonctions f d’un ensemble A vers un ensemble B et g d’un ensemble C vers un ensemble D sont égales ssi,

Ensemble de Définition (Domaine de Définition):

Soit une fonction f définie de E vers F. On appelle domaine de définition de la fonction f le sous-ensemble de E dont chaque élement a une image par f et c’est noté par

Exemple:

. “d” n’a pas d’images par donc, \

Remarque: est obligatoirement un sous-ensemble de l’ensemble de départ et ne peut jamais le dépasser.

Attention!!

Pour déterminer le domaine de définition on calcule les limitations sur “x” et on supprime les valeurs interdites de “x” de l’ensemble de départ et non de , ce qui constitue une faute commune.

Quelles sont les limitations sur “x”?

Pour: On doit avoir:

etc..................

Il faut aussi tenir compte des limitations indirectes provenant de l’ensemble d’arrivée!!!

Exemple:

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f définie par:

Conditions pour “x”sont:

Donc ][

Ensemble Image:

Soit une fonction f définie de E vers F , l’ensemble des élements de F qui ont au moins un antécedant par f forment l’ensemble image de la fonction f et c’est noté par avec .

Exemple:

“3” n’a pas d’antécedant par donc \

On peut facilement constater que la recherche pour l’ensemble images nécessite meme sorte de calculations que pour l’ensemble de définition , sauf il faut cette fois-ci isoler “x” pour faire les memes calculs avec “y”

Exemple:

Déterminer l’ensemble image de la fonction f définie par:

D’abord on isole “x”:

Puis on écrit la condition pour”y”:

Donc \

Attention!!

Pour déterminer l’ensemble image on calcule les limitations sur “y” et on supprime les valeurs interdites de “y” de l’ensemble d’arrivée et non de , ce qui constitue une faute commune.

Une autre faute assez grave serait de calculer au lieu de calculer , meme si ça parait le meme! En faite, pour pouvoir parler d’une application réciproque il faut d’abord l’examiner et constater si c’est une bijection !! (A voir la suite de ce chapitre!)

APPLICATIONS

Definition: Soit deux ensembles E et F. On appelle application de E vers F toute fonction de E vers F telle que tout élément de E ait une image dans F .

Propriétés des Applications:

Injectivité: On dit qu’une application de E dans E est injective ssi,

Remarque: En fait, une application est injective si chaque élément de son

ensemble d’arrivée a au plus un antécédant.

Exemple:

n’est pas injective parce que;

Mais avec une petite modification on peut rendre cette application,

injective en prenant pour ensemble de départ :

Surjectivité: On dit qu’une application de E vers F est surjective ssi,

Remarque: En fait, une application est surjective si chaque élément de

son ensemble d’arrivée a au moins un antécedant, ce qui veut

encore dire que “”

Exemple:

n’est pas surjective parce que;

ensemble d’arrivée =

ensemble d’image = [[

ce qui entraine par la suite que “ensemble d’imageensemble d’arrivée”

Mais avec une petite modification on peut rendre cette application,

surjective en prenant pour ensemble d’arrivée = [[

Bijectivité: On dit qu’une application est bijective si elle est a la fois injective et

surjective.

Remarque: En fait, une application est bijective si chaque élément de son

ensemble d’arrivée a un antécedant et un seul.

Exemple:

est une bijection.

Nombre d’Applications Possibles:

Soit un ensemble A de cardinal “n” et B de cardinal “m” .

On peut définir applications différentes de A vers B
relations définies de A vers B ne sont pas des applications.
On peut définir “m” applications constantes de A vers B
On peut définir applications injectives de A vers B.
On peut définir applications bijectives de A dans A

Application Réciproque:

Soit f une bijection de E vers F, on appelle application réciproque de f , l’application notée , définie de F vers E par

Remarque: Dans une application réciproque la seule chose qu’on fait est de tout renverser:

de remplacer x par y et y par x, de meme l’ensemble de départ devient l’ensemble d’arrivée et l’ensemble d’arrivée devient l’ensemble de départ.

Attention! Toute relation peut avoir une réciproque, mais pour que la réciproque d’une application soit aussi une application il faut que celle-ci soit une bijection.

Comment peut-on la trouver par le calcul?

Exemple: Soit

Trouver

Intérprétation Géometrique:

L’application réciproque d’une application bijective est le symetrique de cette application par rapport a la droite d’équation y = x.

Composition des Fonctions:

Définition: On appelle la composition des fonctions f et g et on note g o f la fonction de E vers G , dont l’ensemble de définition est telle que:

Exemple: Considérons les fonctions f et g telles que :

Propriétés:

Représentation sur un diagramme sagittal:

Méthode de Calcul du Domaine de Définition de la Composition des Fonctions:

Considérons l’exemple ci-dessus: donc il nous parait que serait de meme, ce qui est completement faux parce que “4” n’a pas d’image dans G par g , par conséquent “d” aussi n’a pas d’image dans G par g o f .

Alors, il faut aussi trouver et supprimer les antécedants par f des élements qui sont exclus du domaine de définition de g . Dans notre exemple cet antécedant correspond a “d”. Donc:

Exemple: Soit deux fonctions f et g telles que:

et Calculer .