PİVOTLAMA STRATEJİLERİ

Bir önceki bölümde pivot elemanlardan biri sıfır olduğunda bir satır takasına ihtiyaç duyduğumuzu görmüştük. Bu satır takası şeklinde olup p , a_pk^(k) ≠ 0 olacak şekilde k dan büyük en küçük tamsayı olarak alınmıştır. Yuvarlama hatalarından kurtulmak için de büyük bir sıklıkla, pivot eleman sıfır olmasa bile satır takasına ihtiyaç duyulmaktadır. a_kk^(k) , a_jk^(k) dan mutlak değerce küçük olduğu takdirde, m_jk = a_jk^(k) / a_kk^(k) çarpanının mutlak değeri 1’den çok daha büyük bir sayı olacaktır. Herhangi bir a_kl^(k) teriminde yapılacak bir yuvarlama hatası, a_jl^(k+1) yı hesaplarken m_jk ile çarpılarak baştaki hatanın katlanarak büyümesine sebep olabilecektir. Ayrıca,

teriminin hesaplanması için tersine yerine koyma uygulanırken rastlanacak küçük bir a_kk^(k) değeri, kesrin payında oluşacak herhangi bir hatanın dramatik bir şekilde büyümesine yol açacaktır.

ÖRNEK 1:

Yukarıda verilen lineer denklem sisteminin doğru çözümü x₁ = 10,00 ve x₂ = 1,000 dır. Yuvarlama hatalarının getirebileceği sorunları görmek amacıyla 4 anlamlı sayıdan oluşan işlemler yardımıyla bu sisteme gauss eliminasyonu uygulayalım. İlk pivot eleman a₁₁⁽¹⁾ = 0,003000 olup buna karşılık gelen çarpan,

Bulunan bu sayı 1764 ‘e yuvarlanır. Devamında da (E₂ – m₂₁ E₁ )→ (E₂) ve buna bağlı yuvarlama işlemleri yapılarak şu sonuca ulaşılır:

Halbuki yuvarlama yapılmasaydı şu sonuca ulaşılacaktı:

Burada belli bir yuvarlama hatasının oluştuğu, ancak henüz bu hatanın çok büyük boyutlara ulaşmadığı gözlenebilmektedir. Tersine yerine koyma ile sonuca ulaştığımızda ise x₁ = 1,001 ve x₂ = -10,00 olarak bulunacaktır. Bu da x₁ ‘in değerindeki 0,001 ‘lik ufak bir sapmanın 59,14 / 0,003000 sayısıyla çarpıldığında nasıl büyüyerek bizi kabul edilemez bir değer olan x₂ = -10.00 ‘a ulaştırabildiğini göstermektedir. Aşağıdaki şekilde de sonuçların grafiğe yansıması rahatlıkla görülebilmektedir.