1. LİNEER PROGRAMLAMA: FORMÜLASYON VE GRAFİK ÇÖZÜMLER

 

Lineer programlama veya kısa adıyla LP, yöneylem ve araştırma alanında endüstriden askeriyeye, tarımdan ekonomiye, taşımacılıktan sağlık sistemine ve  hatta sosyal araştırmalara kadar son 30-40 yılda başarılı uygulamaları ve etkili sonuçları ile dikkat çekmiştir.

 

Lineer programlamanın bazı uygulama alanları şöyle sıralanabilir:

***Bir banka fonlarını mümkün olan en yüksek getiriyi getirecek biçimde plase etmek istemektedir. Likiditesini merkez bankasının koyduğu sınırlar içinde tutmak zorundadır ve müşterilerinin kredi taleplerini karşılayabilmek için yeterince esnek olabilmelidir.

***Bir reklam ajansı müşterisi için mümkün olan en düşük reklam maliyeti ile, en iyi açılımı sağlamak istemektedir. Her biri farklı bir okuyucu kitlesine hitap eden ve farklı reklam tarifeleri olan  bir düzineye yakın reklam verilebilecek dergi vardır.

***Bir mobilya imalatçısı karını maximize etmek istemektedir. Ancak müşterilerine karşı verilmiş sözleri olduğu kadar, üç aşamadan oluşan üretiminin her bir aşaması için ayrı ayrı kapasite sınırlamaları vardır.

***Gelişmekte olan bir ülkenin  gıda bilimcileri mümkün olan en düşük maliyetli ve yüksek protein değerine sahip bir gıda ürünü üzerinde çalışmaktadır. Protein elde edilebilecek on ayrı malzeme vardır ve her bir malzeme de ayrı miktarlar ve ayrı fiyatlardan temin edilebilmektedir.

 

Yukarıda verilen örnekleri çoğaltmak mümkündür. Biz bunlardan birkaçını yapısal olarak inceleyeceğiz.

 

1.1. BASİT BİR LP MODELİ OLUŞTURMAK

 

Bu başlık altında, bir matematiksel modeli kurmak ve çözmek için gerekli veriler tanımlanmıştır. Örnekleri incelerken modeldeki varsayımlara ve bu varsayımların çözümü nasıl etkileyebildiğine özellikle dikkat etmek gerekmektedir.

 

Örnek 1.

 

ABC firmasının dış cephe boyası ve iç mekanlar için boya ürettiği bir üretim tesisi vardır. Bu boyaları üretebilmek için A ve B gibi iki temel hammadde kullanılmaktadır. A hammaddesinden günde en fazla 6 ton, B’ den ise günde en fazla 8 ton tedarik edilebilmektedir. Boyanın tonu başına düşen günlük hammadde ihtiyaçları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

 

 

Bir ton boya için ihtiyaç duyulan hammadde miktarı(yine ton olarak)

 

 

Dış cephe

İç cephe

Maksimum tedarik

A hammaddesi

1

2

6

B hammaddesi

2

1

8

 

Pazar araştırması sonuçlarına göre günlük iç cephe boyası ihtiyacı, günlük dış cephe boyası ihtiyacından 1 tondan fazla olamamaktadır. Ve yine aynı araştırma göstermiştir ki günlük iç cephe boyası talebi en fazla 2 tonla sınırlandırılmıştır.

 

Dış cephe boyasının toptan satış fiyatı 3000 $/ton, iç cephe boyasınınki ise 2000 $/ton   dur.

 

Bu bilgiler ışığında firma günlük olarak kaç ton iç ve dış cephe boyası üretmelidir ki maximum satış hasılatını elde etsin?

 

Matematiksel  modelin oluşturulması:

 

Önce şu üç soruya cevap verebilmemiz gerekmektedir:

 

  1. Model neyi tanımlamayı hedefliyor? Bir başka ifadeyle problemin değişkenleri (bilinmeyenleri) nelerdir?
  2. Modellenen sistemin koşullarını sağlamak için değişkenlere hangi kısıtlamalar getirilmelidir?
  3. Değişkenlerin tüm olası çözümleri arasından optimum (en iyi ) olanı seçebilmek için ulaşmayı arzuladığımız hedef nedir?

 

Daha sonra değişkenleri tanımlamamız ve hedef ile kısıtlamaları bu değişkenlerin birer matematiksel fonksiyonu olarak ifade etmemiz gerekir.

 

DEĞİŞKENLER: xe= ton cinsinden günlük dış cephe boyası imalatı

                             xI= ton cinsinden günlük iç cephe boyası imalatı

 

HEDEF FONKSİYON: 3000.xe dış cephe boyalarının, 2000.xI  ise iç cephe boyalarının satışından elde edilecek hasılatı verecektir. İç ve dış cephe boyalarının satışlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayımından yola çıkarak toplam satış hasılatı bu iki üründen elde edilecek satış hasılatlarının toplamı olarak ifade edilebilir. z ‘ ye toplam satış hasılatı dersek hedef fonksiyonu  z = 3000.xe + 2000.xI  olacaktır. Amacımız xe ve xI  nin bu kriteri maximum kılacak olası ( tanımlı ) değerlerini bulmaktır.

 

KISITLAMALAR: Hem hammadde kullanımı hem de talepte birtakım kısıtlamalar mevcuttur.

 

Kullanım kısıtlamaları Þ (Her iki boya için ihtiyaç duyulan toplam hammadde miktarı) £ (maximum hammadde tedarik miktarı)

 

Yani:     xe + 2.xI £ 6   (A hammaddesi)

          2.xe + xI £ 8      (B hammaddesi)

 

Talep kısıtlamaları Þ (iç cephe boyasının dış cepheninkinden fazlalığı) £ 1 ton/gün

                                 (iç cephe boyası talebi) £ 2 ton/gün

 

Yani:   xI – xe £ 1        (iç cephe boyasının dış cephe boyasından fazlalığı)

                 xI £ 2        (iç cephe boyasının maximum talebi)

 

Burada söylenmese bile boya üretim miktarlarının negatif olamayacağı kısıtlaması da açıktır.

 

Yani:   xI ³ 0  (iç cephe boyası)

           xe ³ 0  (dış cephe boyası)

 

xe  ve  xI   eğer yukarıdaki tüm kısıtlamaları sağlıyorsa geçerli çözümler oluşturdukları söylenecektir.

 

Bu problemin komple matematiksel modeli şöyle özetlenebilir:

 

xe + 2.xI £ 6  

2.xe + xI £ 8     

   xI – xe £ 1       

          xI £ 2

xI ³ 0, xe ³ 0

 

kısıtlamaları çerçevesinde,  

 

z = 3000.xe + 2000.xI  (hedef fonksiyonu) fonksiyonunu maximum kılacak iç ve dış cephe boyası üretim miktarlarını (yani  xe  ve  xI ) tespit etmek. 

 

Buna lineer program dememizin sebebi ise gerek kısıtlayıcı, gerekse hedef fonksiyonlarının lineer fonksiyonlar olmalarıdır.