THEORIE DES LIMITES

limite en un réel a

la limite en le réel a est un réel b 

	(limite à droite en le réel a)
f(x) est aussi proche que l'on veut du réel b si x est suffisamment proche du réel a et strictement supérieur à a

	(limite à gauche en le réel a)
f(x) est aussi proche que l'on veut du réel b si x est suffisamment proche du réel a et strictement inférieur à a

	(limite en le réel a)
f(x) est aussi proche que l'on veut du réel b si x est suffisamment proche du réel a et distinct de a (des deux côtés)

la limite en le réel a est 

	(limite à droite en le réel a)
f(x) est aussi grand que l'on veut si x est suffisamment proche du réel a et strictement supérieur à a

	(limite à gauche en le réel a)
f(x) est aussi grand que l'on veut si x est suffisamment proche du réel a et strictement inférieur à a

	(limite en le réel a)
f(x) est aussi grand que l'on veut si x est suffisamment proche du réel a et distinct de a (des deux côtés)

la limite en le réel a est 

	(limite à droite en le réel a)
f(x) est aussi petit que l'on veut si x est suffisamment proche du réel a et strictement supérieur à a

	(limite à gauche en le réel a)
f(x) est aussi petit que l'on veut si x est suffisamment proche du réel a et strictement inférieur à a

	(limite en le réel a)
f(x) est aussi petit que l'on veut si x est suffisamment proche du réel a et distinct de a (des deux côtés)

limite en

la limite en est un réel b 

f(x) est aussi proche que l'on veut du réel b si x est suffisamment grand

la limite en est

f(x) est aussi grand que l'on veut si x est suffisamment grand

la limite en est

f(x) est aussi petit que l'on veut si x est suffisamment grand

limite en

la limite en est un réel b 

f(x) est aussi proche que l'on veut du réel b si x est suffisamment petit

la limite en  est

f(x) est aussi petit que l'on veut si x est suffisamment petit

la limite en  est 

f(x) est aussi grand que l'on veut si x est suffisamment petit

CALCUL EN PRATIQUE

Limite en un réel a

Remplacer la variable x par le réel a. On obtient:

1) soit un réel b : c'est la limite cherchée

2) soit une fraction dont le dénominateur s'annule mais pas le numérateur: les limites à gauche et à droite sont infinies; on détermine leur signe en étudiant le signe de la fonction.

3)soit une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous les deux:

cas d'indétermination :

On peut appliquer la règle de l'Hospital : (on retombe sur l'un des cas cités plus haut, on peut éventuellement appliquer à nouveau la règle de l'Hospital, mais seulement en cas de nouvelle indétermination)

dans laquelle f' et g' sont les fonctions dérivées de f et de g respectivement.

Limite en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):

- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe

- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe

- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination (voir plus loin)

(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)

- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes

- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes

- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination (voir plus loin)

- diviser un réel par l'infini donne 0

- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination (voir plus loin)

Traitement de quelques cas d'indétermination

La limite en l'infini d'un polynôme est la limite en l'infini de son terme de plus haut degré

cas

on applique la règle de l'Hospital (éventuellement plusieurs fois mais seulement en cas de nouvelle indétermination):

cas

on écrit le produit sous la forme d'un quotient et on peut alors appliquer la règle de l'Hospital rappelée ci-dessus.

cas

- s'il s'agit d'une différence comportant des radicaux, on la multiplie et la divise par son expression conjuguée et on effectue la multiplication : on est ramené à l'un des cas traités plus haut. (L'expression conjuguée de a+b est a-b et inversement).

- dans d'autres cas, en particulier avec des fonctions exponentielles ou logarithmes, on peut transformer la différence en un produit (mise en évidence par exemple). Il arrive qu'on tombe alors sur une indétermination traitée plus haut.