SORU :

 

Z4 + (1 + i ).Z2 + 2 = 0  denklemini kompleks sayılar kümesinde çözünüz.

 

Çözüm:

 

Öncelikle değişken dönüşümü uygularız ve  Z2 = x  olarak alırız. Böylelikle denklem aşağıdaki yapıya dönüşmüş olur:

 

x2 + ( 1 + i ).x + 2 = 0

 

∆ = ( 1 + i )2 – 4.1.2 = 1 + 2.i + i2 – 8 = - 8 + 2.i

-------------------------------------------------------------------------------------------

Bir sonraki aşamada  bu ifadenin kareköküne ihtiyaç duyacağımızdan 

 

Z21 = - 8 + 2.i       alalım.

 

Z1 = a + i.b           kabul edilirse        

 

( a + i.b )2 = - 8 + 2.i     olacaktır.

 

a2 – b2 + 2.a.b.i = - 8 + 2.i     ve    │( a + i.b )2 │ = │- 8 + 2.i │

 

     

 

burada her ne kadar (1) ve (3) üncü denklemler teknik olarak çözüme yeterli olsalar da işimizi kolaylaştırmak bakımından (2) inci denklemi de üretmeyi tercih ediyoruz. Burada  a  ve  b değerlerini bulmak için (1) ve (2) nci denklemlerden, işaretlerini kontrol için ise ikinci denklemlerden yararlanacağız.

 

(1) + (2)  den   

(2) – (1)  den   

(3) ten  a  ve  b  aynı işarete sahiptirler. O halde,

 

    ya da           

 

Not: Burada   olduğunu unutmamak gerekir.

---------------------------------------------------------------------------------------------

Tekrar çözümümüze dönecek olursak,

 

   

 

 

,

 

 

Burada dikkat edilecek olursa  x3   ve   x4    aslında  x1   ve   x2   ile aynı olmaktadır. Buradan da ters dönüşüm yapacak olursak,

 

Z2 = x1     veya     Z2 = x2     den, ( Z = c + i.d   olmak şartıyla )

 

   (4)    veya           (5)

 

 

( I ) + ( II ) den  

 

 

( II ) – ( I )  den

 

( III ) ten  c  ve  d   zıt işarettedir. O halde,

 

 

 

( I ‘) + ( II’ ) den

 

( II ‘) – ( I’ )  den

 

  

 

( III’)  den  c   ve   d   nin işaretleri aynıdır.