ÇOKGENLER

Düzlemde, belli bir sırada ve olacak biçimde noktaları verilmiş olsun. Verilen noktaları sırasıyla birbirine ve sonuncu noktayı da ilk noktaya birer doğru parçası ile bağlamak suretiyle veya elde etmiş oluruz. noktaları çokgenin köşelerini, doğru parçaları ise kenarlarını oluşturur. Birkaç örnek verecek olursak için şeklimiz üçgen, için ise dörtgen olacaktır (Bkz. Düzgün çokgenler tablosu). Ayrıca burada sadece basit, yani ardışık kenarları aynı doğru üzerinde olmayan ve köşe noktaları hariç, kenarları çakışmayan çokgenleri ele alacağız. (Bkz. Şekil 1.)

Şekil.1: Soldaki ve ortadaki dörtgenler basit dörtgenlerdir. Sağdaki ise basit dörtgen olarak adlandırılamaz.

Bir köşesindeki açıdan bahsettiğimizde aklımıza o köşedeki iç açı gelmelidir(Şekil 1. in en solundaki dörtgenin açısı gibi). Bu açıyı da köşe ile aynı adla adlandırırız. açısının bütünleyenine o köşedeki dış açı adı verilir; geometrik olarak bu, kenarlardan biri ile ona komşu olan kenarın uzantısı arasında kalan açıdır. Herhangi bir in iç açıları toplamı dir: örneğin bir üçgenin iç açılar toplamı olacaktır.

köşelerinin koordinatları için olan bir çokgenin alanı aşağıdaki şekilde verilebilir:

Buradaki toplam sembolü içinde ve alınacaktır. Özel olarak üçgen için düşünüldüğünde ise alan formülü şu yapıya dönüşür:

. (Söz konusu olan bu determinantın mutlak değeridir.)

Eksenleri arasındaki açı olan eğik koordinat sisteminde alan, yukarıdaki ifadenin ile çarpılması suretiyle elde edilir.

Köşeler, için kutupsal koordinatları cinsinden verilmiş ise alan da şöyle yazılabilir:

Burada da aynı şekilde ve alınacaktır.

Üçgenler

Bir üçgenin iç açıları toplamı olduğundan, bu açılardan en az ikisi dar açı olmalıdır. Dar açılı üçgenin tüm açıları den küçük, dik üçgenin bir açısı ye eşit, geniş açılı üçgenin ise bir açısı den büyük olacaktır.

Bir kenara ait yükseklik, karşı köşeden, o kenarı bulunduran doğruya inilen dikmenin uzunluğudur. Bir köşeye ait açıortay, o köşedeki açıyı eşit iki parçaya bölen doğrudur. Kenarortay ise, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan doğru parçasına verilen isimdir. (Bkz. Şekil 1.)

Şekil 1. Köşeleri , bu köşelere karşılık gelen kenarları da olan keyfi bir üçgende ye karşılık gelen yükseklik , kenarortay , açıortay ise olarak gösterilmiştir. Çevrel çember yarıçapı , iç teğet çember yarıçapı ise ile ifade edilmiştir.

Her üçgenin üç kenarına da içten teğet olan içten teğet olan bir çember mevcuttur ve bu çember iç teğet çember adını alır(Bir başka deyişle herhangi üç çakışmayan doğru bir çember belirler). Bu çemberin merkezi açıortayların kesişim noktasıdır. İç teğet çemberin yarıçapını ile göstereceğiz.

Her üçgenin üç köşesinden de geçen bir çember mevcuttur ve bu çember çevrel çember adını alır(Bir başka deyişle aynı doğru üzerinde olmayan her üç nokta bir çember belirler). Bu çemberin merkezi kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır. Çevrel çemberin yarıçapını ile göstereceğiz.

Kenarortayların kesişim noktasına üçgenin(Düzlemde bir bölge olarak düşünülmeli) kütle merkezini verecektir.

Köşeleri ve kenarları (Bkz. Şekil 1.) olan rasgele bir üçgende ve sırasıyla köşesinden çıkan yükseklik, açıortay ve kenarortayın uzunlukları, ve ise sırasıyla iç teğet ve çevrel çemberlerin yarıçapları olsun. Ayrıca olarak alalım. Bu durumda:

q q

Tüm kenarları eşit uzunlukta veya tüm açıları eşit (ve ) olan bir üçgen eşkenar üçgen olarak adlandırılır. İki kenarı eşit uzunlukta veya iki açısı eşit olan bir üçgen ise ikizkenar üçgen olarak adlandırılır. Bunların dışında kalan üçgenlere rasgele (keyfi) üçgenler adı verilir.

Bir kenar uzunluğu olan bir eşkenar üçgen için:

q q

Yukarıdaki herhangi bir kenara ait olabilir. Farklı köşelerden çıkan yükseklik, açıortay ve kenarortayların her biri kendi aralarında ortak bir noktada kesişirler.

İkizkenar üçgende eşit olmayan kenara ait yükseklik, karşılık gelen açıortay ve kenarortay ile çakışır, ancak bu durum diğer kenarlar için geçerli değildir. Kenarları olan bir ikizkenar üçgen için birçok formül dik üçgenden türetilebilir(Bkz. Şekil 2.).

Şekil 2. Solda: Biri i kizkenar üçgen iki eşit dik üçgene bölünebilir. Sağda: Dik üçgen için notasyonlar

Dik üçgende en uzun ve aynı zamanda dik açının karşısında bulunan kenara hipotenüs adı verilir. Dik açıya komşu olan kenarlar dik kenarlar adını alır ve dik kenarlardan biri diğeri için yükseklik görevi görür. Şekil 2. nin sağ tarafındaki dik üçgende hipotenüse ait yüksekliği, ve ise yüksekliğin hipotenüsü böldüğü parçaları göstermektedir.

Dik üçgen için şu formüller yazılabilir:

q q

Hipotenüs aynı zamanda çevrel çemberin çapıdır. Hipotenüsün orta noktasını (çevrel çemberin merkezi) dik köşeye bağlayan kenarortay hipotenüs ile ve açılarını yapar.

Üçgenler ile ilgili diğer bilgiler:

Herhangi bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Bu, sinüs teoreminin bir sonucudur.

Ceva Teoremi(Bkz. Şekil 3. sol): Bir üçgeninde ve sırasıyla ve doğru parçaları üzerindeki noktalar olsun. Bu durumda ve doğru parçalarının aynı noktada kesişmeleri için gerek ve yeter koşul şöyle yazılabilir:

Bu durum söz konusu olan doğru parçaları kenarortay, açıortay veya yükseklik olduğunda da geçerlidir.

Şekil 3. Solda: Ceva Teoremi. Sağda: Menelaus Teoremi

Menelaus Teoremi(Bkz. Şekil 3. sağ): Bir üçgeninde ve sırasıyla ve doğruları üzerindeki noktalar olsun. Bu durumda ve nin aynı doğru üzerinde olmaları için gerek ve yeter koşul şöyle yazılabilir:

Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından azdır. Bu koşulu sağlayan herhangi üç uzunluk ile bir üçgen oluşturulabilir.

DÖRTGENLER

Aşağıdaki formüller genel bir dörtgenin alanını vermektedir (Notasyon için Bkz. Şekil 1. sol).

Şekil 1. Sol: genel bir dörtgen için notasyon; ayrıca . Sağ: Paralelkenar

Bununla birlikte bir dörtgenin alanını hesaplamak için en kolay yol o dörtgeni üçgenlere bölmektir. Ayrıca diğer kenarlar veya açılar verildiğinde bir kenarın uzunluğunu hesaplamak için de aynı yöntem kullanılabilir.

Özel dörtgenler için farklı formüller de yazılabilir. Bir paralelkenarın karşılıklı kenarları paraleldir (Şekil 1. sağ). Karşılıklı kenarların eşit olması ve ardışık açılar toplamının olması da bu ifadeden çıkarılabilecek sonuçlardır. Şekildeki notasyonu kullanarak şu ifadeleri yazabiliriz:

q q

(Tüm bu formüller ve üçgenlerine üçgen formüllerinin uygulanması ile türetilmiştir.)

İki özel paralelkenar türü şunlardır:

· · Dikdörtgen: Tüm açıları dir ve köşegenlerin uzunlukları eşittir. Paralelkenar için verilmiş formüller aşağıdaki yapıya indirgenebilir:

· · Eşkenar dörtgen: Tüm kenarları birbirine eşittir. Köşegenler birbirine diktir. Paralelkenar için verilenlere ek olarak aşağıdaki formülleri yazabiliriz:

Kare veya diğer adıyla düzgün dörtgen, hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgen yapısındadır.

İki kenarı paralel olan dörtgene yamuk adı verilir. Aşağıda verilen şeklin notasyonu doğrultusunda şu formülleri yazabiliriz: