FRAKTALLAR

 

ÖN KOŞUL OLAN BİLGİLER:

 

-R2 de Lineer Operatörlerin Geometrisi

-Rn  Öklit Uzayı

-Doğal Logaritma

-Limitler hakkında kavramsal bilgi

 

Ondokuzuncu yüzyıl sonları ve yirminci yüzyıl başlarında matematik literatürüne, önceleri tesadüfi veya kaotik olduğu iddiasıyla gözardı edilen, fakat günümüzde gerek fiziksel gerek biolojik fenomenlerdeki düzeni ortaya koyduğunun ortaya çıkmasıyla giderek artan bir öneme sahip olmaya başlayan ve fraktallar olarak adlandırılan ve Öklit Uzayında tanımlanan bazı kümeler geçmeye başlamıştır. Bunlara çevremizden verebileceğimiz bazı örnekler, bulutlar, dağlar, kıyı çizgileri ve ağaçlar olarak ifade edilebilir.

 

Bu konudaki tanımların çoğunluğu bu alanda aktif araştırmaları olan Benoit B. Mandelbrot ve Michael Barnsley adlı matematikçilere aittir.

 

Kendine Benzer Kümeler

 

Öncelikle R2  deki kümelerle ilgili terminolojiyi tanımamız gerekmektedir. R2 de bir küme uygun genişlikte bir çember içine alınabiliyorsa bu kümeye sınırlı küme adı verilir. Eğer bu küme tüm sınır değerlerini de kapsıyorsa kapalı küme adını alır. Eğer R2  de iki kümeden biri diğerinin ötelenmesi ve döndürülmesi sonucu elde edilebiliyorsa bu iki kümeye kongrüent kümeler denir. Ayrıca kesişen, kesişmeyen kümeler kavramı da konunun içinde yer alacaktır. T: R2------- R2 ,  s   çarpanı ile ölçekleme yapan bir lineer operatör, Q  ise  R2   de bir küme olsun. Bu durumda  s>1  ise  T(Q)  genleşme  0<s<1  ise  T(Q)  büzüşme adını alır. Her iki durumda da T(Q),  Q  kümesinin    s   çarpanı ile ölçeklendirilmiş halidir.

 

İlk olarak ele alınacak fraktal türleri kendine benzer olarak adlandırılanlar olacaktır. Genel olarak R2  de bir kendine benzer küme şöyle tanımlanabilir.

 

TANIM:

 

R2  Öklit Uzayının kapalı ve sınırlı bir alt kümesi  S eğer,

 

S = S1 U S2 U S3 U.............U Sk     (1)        (S1, S2, S3,....,Sk  kesişmeyen ve herbiri aynı  0<s<1  çarpanıyla ölçeklendirilmiş ve S ile kongrüent kümeler)

 

şeklinde ifade edilebiliyorsa kendine benzer olarak tanımlanır.

 

S   in kendine benzer küme olması durumunda  (1)  S   in ayrık kongruent kümelere ayrışması olarak ta adlandırılır.

 

 

Örnek 1: Doğru Parçası

 

R2 de bir doğru parçası iki ayrık ve kongruent doğru parçasının birleşimi olarak ifade edilebilir. Bu iki parçanın her biri orijinal parçaya kongruent ve ½  çarpanıyla ölçeklendirilmiştir. Dolayısıyla bir doğru parçası k=2 ve s=1/2  olacak şekilde bir kendine benzer küme oluşturur.

 

Örnek 2: Kare

 

Bir kare de dört ayrık ve kongruent karenin birleşimi olarak ifade edilebilir. Her bir küçük kare büyük kareye kongruent ve ½ çarpanı ile ölçeklendirilmiştir. Dolayısıyla bir kare  k=4  ve  s= ½ olacak şekilde bir kendine benzer küme oluşturur.

 

Örnek 3: Sierpinski Halısı

 

Bu şekil ilk olarak Polonyalı matematikçi Waclaw Sierpinski (1882-1969) tarafından tanımlanmıştır. Bu şekil sekiz ayrık ve kongruent alt kümenin birleşimi olarak ifade edilebilir ve 1/3 çarpanıyla ölçeklendirilmiştir. Dolayısıyla  k=8  ve  s=1/3  olacak şekilde kendine benzer bir küme oluşturur. Burada dikkate alınması gereken şey, bu kare içinde kare yapısı sonsuz küçük parçalara kadar devam etmektedir. Ancak bu durum gözlemle değil varsayımsal olarak tanımlanabilir.

 

Örnek 4: Sierpinski Üçgeni

 

Bu şekilde yine Sierpinski tarafından ortaya atılmış ve üçgen içinde üçgen formasyonu sonsuza kadar devam etmekte olup  k= 3    ve  s= ½   dir.

 

Sierpinski Halısı ve Sierpinski Üçgeni  nin doğru parçası ve kareden daha karmaşık olması bu yapıların sonsuz sayıda tekrarlanmasından kaynaklanmaktadır.

 

Bir Kümenin Topolojik Boyutu

 

Bir vektör uzayının alt uzayının boyutunu o alt-uzayın bazında bulunan vektör sayısı olarak tanımlayabiliriz. Bu tanım aynı zamanda geometrik olarak algılanan boyut kavramına da uymaktadır. Örneğin R2  deki orijin  sıfır-boyutlu, orijinden geçen doğrular bir boyutlu  ve R2  nin kendisi iki boyutludur. Boyutun bu tanımı daha genel ve Topolojik Boyut olarak adlandırılan bir kavramın özel bir durumunu oluşturmaktadır. Bu,  Rn  deki kümelere uygulanabilir bir kavram olup bu kümelerin illa alt-küme olmaları gerekmemektedir. Bu kavramın net tanımı Topoloji Dalında yapılmıştır. Her ne kadar bu tanım konumuz dışında ise de genel bir ifade olarak şunları söyleyebiliriz:

 

-R2  de bir noktanın topolojik boyutu sıfırdır.

-R2  de bir eğrinin topolojik boyutu birdir.

-R2  de bir bölgenin topolojik boyutu ikidir.

 

Rn  deki bir kümenin topolojik boyutunun  [ 0, n ]  kapalı aralığında bir tam sayı olması gerektiği ispatlanabilir. Bu çalışmada  bir   S   kümesinin topolojik boyutu   dT(S)  olarak ifade edilecektir.

Aşağıdaki tabloda önceki örneklerde incelenen kümelerin topolojik boyutları verilmiştir. İlk iki sonuç açıkça görülebilmektedir. Ancak diğer ikisi biraz farklılık arzetmektedir. Kabaca ifade edecek olursak her ikisinde de o kadar çok boşluk içermektedir ki birer bölgeden ziyade doğrulardan oluşan birer örümcek ağına benzemektedirler. Dolayısıyla topolojik boyutları birdir. Ancak bunun oldukça zor bir matematiksel ispatı vardır.

 

S Kümesi

dT(S)

Doğru Parçası

1

Kare

2

Sierpinski Halısı

1

Sierpinski Üçgeni

1

 

Kendine Benzer Bir Kümenin Hausdorff Boyutu

 

1919 da alman matematikçi Felix Hausdorff (1868-1942)  Rn  deki keyfi bir kümenin boyutu için alternatif bir tanım vermiştir. Tanımı oldukça karmaşık olmakla birlikte, kendine benzer kümeler için bu tanım oldukça basit bir şekle indirgenmektedir:

 

TANIM:

 

(1) şeklindeki bir kendine benzer kümenin Hausdorff Boyutu   dH(S)  olarak ifade edilir ve şöyle tanımlanabilir:

 

dH(S)  = ln k               (2)

              ln(1/s)

 

(2)       sdH(S)=1/k   olarak ta ifade edilebilir.   (3)

 

Formül (3) Hausdorff Boyutu kavramını yorumlamada bize daha çok yardımcı olacaktır: Örneğin bir kendine benzer kümeyi s=1/2 çarpanı ile ölçeklendirirseniz alanı ( daha doğru bir ifadeyle ölçüsü)  (1/2)dH(S)  oranında küçülecektir. Sayısal örnek verecek olursak, bir doğru parçasını ½ ile ölçeklendirmek ölçüsünü(uzunluğunu) (1/2)1  oranında küçültecektir. Ve yine bir karesel alanı ½ ile ölçeklendirdiğimizde bu onu ölçüsünü(alanını)  (1/2)2  oranında küçültecektir.

 

Örneklere geçmeden önce bir kümenin Hausdorff Boyutu ile ilgili bazı özellikleri listeleyelim:

 

-Bir kümenin Hausdorff Boyutu ile topolojik boyutu aynı olmak zorunda değildir.

-Bir kümenin Hausdorff Boyutu tamsayı olmak zorunda değildir.

-Bir kümenin topolojik boyutu Hausdorff Boyutundan küçük veya eşittir.(dT(S)£dH(S))

 

 

DEVAMI VAR......................