Domaine de définition ou domaine d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Le domaine de définition de la fonction ci-contre est l'intervalle [1,4]

- écrire les conditions d'existence de l'expression analytique de la fonction

- résoudre ces conditions

- le domaine de définition est l'ensemble des solutions vérifiant toutes les conditions à la fois

Conditions d'existence d'une expression

Type d'expression	Conditions
	si n est pair:
	si n est impair:	aucune
	aucune
	aucune
	aucune
	aucune
	aucune
	aucune sur A

Recherche des asymptotes au graphe d'une fonction

Asymptotes verticales

- calculer les limites aux bornes du domaine de definition de la fonction

- si la limite à gauche et/ou à droite en un réel a est l'infini, alors le graphe de la fonction admet une asymptote verticale d'équation x = a.

Asymptotes horizontales

- calculer les limites de la fonction en l'infini

- si l'une de ces limites est un réel b, alors le graphe de la fonction admet une asymptote horizontale d'équation y = b du côté positif ou négatif suivant le cas.

Remarque :

Un graphe peut donc admettre la même droite comme asymptote horizontale des deux côtés si les deux limites sont le même réel b, mais les asymptotes peuvent aussi être différente du côté positif que du côté négatif. De même, il existe des fonctions qui n'admettent une asymptote horizontale que d'un seul côté et d'autres qui n'en admettent aucune.

Asymptotes obliques

Le graphe d'une fonction admet la droite d'équation y = ax + b comme asymptote oblique si les deux conditions suivantes sont vérifiées:

Remarques:

On peut faire les mêmes remarques que pour les asymptotes horizontales (même droite comme asymptote oblique de chaque côté, ou asymptote oblique différente d'un côté que de l'autre, ou une asymptote oblique d'un seul côté ou aucune asymptote oblique).

On peut aussi avoir une asymptote oblique d'un côté et une horizontale de l'autre mais jamais une horizontale et une oblique du même côté. Donc si on a trouvé une asymptote horizontale d'un côté, il est inutile de rechercher une oblique de ce côté.

Dans certains cas, on peut obtenir plus rapidement l'équation de l'asymptote oblique:

- si la fonction est de la forme:

alors son graphe admet la droite d'équation y = ax + b comme asymptote oblique.

- si la fonction est une fraction de polynôme dont le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur, on peut effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur et la fonction prend la forme citée ci-dessus.

Etude des variations d'une fonction

 Elle consiste à rechercher les intervalles où la fonction est croissante, décroissante ainsi que les extrema de la fonction.

 On sait que si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle.

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

-    en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Fonction croissante, décroissante

Une fonction f est strictement croissante sur une partie A de R 

Une fonction est croissante sur une partie A de R 

Une fonction est strictement décroissante sur une partie A de R

Une fonction est décroissante sur une partie A de R 

Cette fonction est strictement croissante pour les réels inférieurs à 1, strictement décroissante pour les réels compris entre 1 et 3, et strictement croissante pour les réels supérieurs à 3

Racine ou zéro d'une fonction, d'une expression

Une racine d'une fonction ou d'une expression est une valeur de la variable pour laquelle cette fonction ou cette expression est nulle.
Chercher les racines d'une fonction f revient donc à résoudre l'équation f(x) = 0.

Cette fonction admet deux racines : 1 et 3.

Etude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction

 On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion

Concavité du graphe d'une fonction

Le graphe d'une fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur un intervalle si en chaque point de cet intervalle, la tangente à la courbe est située en dessous (respectivement au-dessus) de celle-ci.

concavité tournée vers le haut	concavité tournée vers le bas
Point d'inflexion du graphe d'une fonction

Un point d'inflexion du graphe d'une fonction est un point en lequel le graphe change sa concavité.

	Le point d'abscisse 2 est un point d'inflexion du graphe de cette fonction
Opérations sur les graphiques des fonctions

A partir du graphe d'équation y = f(x), construire le graphe d'équation
y = f(x)+k

Il suffit d'ajouter k à l'ordonnée de chaque point du graphe de f.

A partir du graphe d'équation y = f(x), construire le graphe d'équation 
y = f(x+k)

Il suffit de soustraire k à l'abscisse de chaque point du graphe de f.

A partir du graphe d'équation y = f(x), construire le graphe d'équation 
y = k.f(x)

Il suffit de multiplier l'ordonnée de chaque point par k.

A partir du graphe d'équation y = f(x), construire le graphe d'équation 
y = f(k.x)

Il suffit de diviser l'abscisse de chaque point du graphe de f par k.

A partir du graphe d'équation y = f(x), construire le graphe d'équation 
y=abs(f(x))

abs(f(x)) désigne la valeur absolue de f(x)

La partie du graphe située au-dessus de l'axe X est conservée, et l'autre partie effectue une symétrie d'axe X.

Fonction logarithme néperien

 Définition

 Représentation graphique

NB: le nombre e est le nombre dont l'image par la fonction ln est 1: il s'agit du nombre de Neper.

 Propriétés de la fonction

	Domaine de définition : R0^+
	ln est continue et strictement croissante sur son domaine
	Limite aux bornes du domaine:

Dérivée:

 Règles de calcul

 Propriété

Fonction logarithme en base quelconque a

 Définition

Soit a un réel strictement positif et distinct de 1. 
La fonction logarithme de base a notée log_a est la réciproque de la fonction exponentielle de base a.
a est appelé la base de la fonction log_a .

 Représentation graphique

 Propriétés de la fonction

	Domaine de définition : R0^+
	si 0<a<1, loga est strictement décroissante sur son domaine.
	si a>1, loga est strictement croissante sur son domaine.
	Limite aux bornes du domaine

si 0<a<1

 si a>1

Dérivée:

 Règles de calcul

 Propriété (lien avec les logarithmes néperiens)