Yard. Doç. Dr. HALİL İBRAHİM VAR

Analitik Geometri

Ders Notları

 

 

 

DÜZLEM

 

4.1. Düzlemin Denklemi

 

Afin uzayda bir P düzleminin üzerinde sabit bir nokta A ve paralel olmayan sabit iki vektör v ve w olsun. Düzlemin herhangi bir P noktasının yer vektörü r ve a da A noktasının yer vektörü, l ve m (birbirine bağlı olmayan) iki reel sayı olmak üzere,

 

                                    r = a + l v + m w                   (1)             

 

şeklinde yazılabilir. ( l , m ) çiftine P düzlemi içindeki P noktasının koordinatları gözü ile bakılabilir. (1) denklemine düzlemin Parametreli Vektörel Denklemi denir.

 

P ve A noktalarının afin koordinatları sırası ile ( x1 , x2 , x3 ) ve ( a1 , a2 , a3 ), v ile w vektörlerinin bileşenleri de sırası ile ( v1 , v2 , v3 ) ve ( w1 , w2 , w3 ) ile gösterilir ise, (1) bağıntısından

                                   x1 = a1 + l v1 + m w1

                                   x2 = a2 + l v2 + m w2                 (2)           

                                   x3 = a3 + l v3 + m w3

 

elde edilir. (2) bağıntılarına düzlemin Parametreli Denklemleri denir.

(2) denklemleri arasında l ve m parametreleri yok edilir ve

 

                                   u1 = v2 w3 - v3 w2

                                   u2 = v3 w1 - v1 w3                       (3)

                                   u3 = v1 w2 - v2 w1

 

                       u0 = - ( a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 )

 

tanımlamaları yapılırsa

 

                       u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 + u0 = 0                   (4)

 

yazılabilir. (4) bağıntısına düzlemin Afin Denklemi denir. v ve w vektörleri paralel olmadıklarından, bileşenleri orantılı değildir. Sonuç olarak u1, u2, u3 katsayılarının hepsi birden sıfır olamazlar ve düzlemin her noktası (4) lineer denklemini gerçekler.

 

P düzlemi 3-boyutlu Euclid uzayında ise (4) denklemi iki şekilde yorumlanabilir:

 

1.      Euclid uzayında bir eğik (paralel) koordinat sistemi seçilmiş ise, ( x1 , x2 , x3 ) düzlem üzerindeki bir noktanın Eğik (paralel) Koordinatlarını gösterir.

2.      Kartezyen bir koordinat sistemi seçilmiş ise, ( x1 , x2 , x3 ) düzlem üzerindeki bir noktanın Kartezyen Koordinatlarını gösterir.

 

(4) denklemi kartezyen bir koordinat sistemine göre yazılmış ise, u ve v vektörlerinin kartezyen bileşenleri sırası ile  ( u1 , u2 , u3 ) ve ( v1, v2, v3 ) olmak üzere, (3) tanımlamaları dikkate alınarak

 

                      u . v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = 0

 


yani u vektörü v vektörüne diktir. Benzer şekilde u vektörü w vektörüne de diktir. Sonuç olarak P düzlemi içindeki her vektör v ve w vektörlerinin lineer toplamı olarak ifade edilebileceğinden u=(u1,u2,u3) vektörü P düzlemi içindeki her vektöre (doğrultuya) diktir. Bu u=(u1,u2,u3) vektörüne Düzlemin Dik (Dikme) Vektörü denir.

 

Kartezyen koordinat sisteminde P noktasının yer vektörü r ve r = ( x1 , x2 , x3 ),          u = ( u1 , u2 , u3 ) ise

 

                       u . r = u1 x1 + u2 x2 + u3 x3

 

olacağından (4) denklemi

 

                       u . r + u0 = 0     şeklinde yazılabilir.

 

4.2. Düzlem Üzerine Temel Problemler

 

1. Verilen Üç noktadan Geçen Düzlemin Denklemini Yazmak

 

Verilen noktalar A, B ve C, yer vektörleri de sırası ile a, b ve c olsun. Bu üç noktanın belirleyeceği düzlem üzerindeki herhangi bir P noktasının yer vektörü r olmak üzere AP, BP ve CP vektörleri aynı bir düzlem içinde olacağından (aynı bir düzleme paralel)

                     [ AP  BP  CP ] = 0                                 (6)

 

elde edilirse, (6) bağıntısı aranan düzlemin denklemidir. (6) bağıntısı yer vektörleri cinsinden yazılacak olursa,

 

[ r – a , r – b , r – c ] = ( ( r – a ) x ( r – b ) ) . ( r – c )                                  

                                   = ( - r x b – a x r + a x b ) . ( r – c )

                                   = ( a x b ) . r + ( r x b ) . c + ( a x r ) . c - ( a x b ) . c                                  

 

ve karma çarpımın tanımından

 

[ r – a , r – b , r – c ] = ( a x b + b x c + c x a ) . r - [ a   b  c ] =  0            veya

 

( a x b + b x c + c x a ) . r =  [ a   b  c ]                      (61)    bulunur. 

A, B , C noktalarının belirlediği düzlem başlangıç noktasından geçmez ise [a b c]¹ 0 olacağından (61) bağıntısı

 

 

veya eşlenik tanımından (0 başlangıcı düzlemin içinde olmadığından OA = a, OB = b ve OC = c vektörleri lineer bağlı değildir, yani baz takımı olarak alınabilir)

 

  ( a* + b* + c* ) . r – 1 = 0           

 

elde edilir.

A , B , C noktalarının belirlediği düzlem başlangıç noktasından geçer ise,

 

[ a  b  c ] = 0    ise    ( b x c ) . a = 0      ,    ( c x a ) . b = 0    ,       ( a x b ) . c = 0

 

olacağından b x c , c x a , a x b vektörleri paraleldirler. Bu durumda (61) denklemi

 

  ( a x b ) . r = 0  { ( b x c ) . r = 0 , ( c x a ) . r = 0 }      olarak alınabilir.

 

2. Verilen Üç Noktadan Geçen Düzlemin Barisantrik Denklemini Yazmak

 

A, B, C noktalarından geçen düzlemin herhangi bir noktası P olsun. Bu durumda AP, BP, CP vektörleri lineer bağlıdırlar ve a, b, g üç skaler olmak üzere,

 

         a AP + b BP + g CP = 0        veya

 

A, B, C ve P noktaları barisantrik bağlı olacağından sırasıyla yer vektörleri a, b, c ve r olmak üzere,

                      

                  r = a a + b b + g c    ve                             (7)    

                             a + b + g                      

 

    l =        a           ve       m =        b           .

           a + b + g                       a + b + g      

 

tanımlarını yaparsak         r = l a + m b + ( 1 - l - m ) c            (71)

 

elde edilir. (7) ve (71) denklemlerine Düzlemin Barisantrik Denklemi denir.

 

3. Verilen Bir Noktadan Geçen ve Verilen İki Doğrultuya Paralel Olan Düzlemin Denklemini Yazmak

 

            1°.  Verilen nokta A ve yer vektörü a olsun. Verilen, paralel olmayan iki doğrultu da v ve w olmak üzere, düzlemin herhangi bir noktası P ise AP, v ve w vektörleri aynı düzleme paralel olacağından

 

                AP = l v + m w      veya      r = a + l v + m w     bulunur.

 

            2°. v x w vektörü düzleme dik bir vektördür. O halde aranan düzlemin denklemi;

 

              ( v x w ) . AP = 0 veya ( v x w ) . ( r – a ) = 0 ise ( v x w ) . r - [ v  w  a ] =  0    bulunur.

 

            3°.  AP, v ve w vektörleri lineer bağlı olduklarından, aranan düzlemin denklemi;

 

             [ AP  v  w ] = [ r – a  v  w ] = 0    veya bileşenler cinsinden  r = ( x1 , x2 ,  x3 ),

A = ( a1 , a2 , a3 ),  v = ( v1 , v2 , v3 )  ve    w = ( w1 , w2 , w3 ) olmak üzere

 

                               bulunur.

 

4. Verilen İki Noktadan Geçen ve Verilen Bir Doğrultuya Paralel Olan Düzlemin Denklemini Yazmak            

 

A ve B verilen noktalar, v de verilen doğrultu olsun. Bu durumda AB vektörü w vektörü olarak alınarak bir önceki probleme indirgenir.

 

5. İki Düzlemin Paralel veya Dik olma Şartlarını Yazmak

 

Düzlemlerin denklemleri  u . r + u0 = 0 ve  v . r + v0 = 0 olsun. Düzlemlerin paralel ve dik olması durumlarında, dikme vektörleri olan u ve v vektörleri de birbirlerine paralel ve dik olacaklarından düzlemlerin diklik şartı; u . v = 0 ve düzlemlerin paralellik şartı;  u = l v   dir

 

6. Üç düzlemin Arakesit Noktasını Bulmak

 

Düzlemlerin denklemleri  u . r + u0 = 0, v . r + v0 = 0 ve w . r + w0 = 0  olsun. Üç düzlemin yalnız bir ortak  noktası olduğundan u , v ve w vektörleri lineer bağımsızdır, yani bir baz takımı oluştururlar. Üç düzlemin arakesit noktasının yer vektörünü  ( u* , v* , w* )  eşlenik baz takımı cinsinden ifade edersek

 

           r = a u* + b v* + g w*    

 

yazılabilir.

 

Arakesit noktası üç düzlemin de denklemini sağlayacağından, eşlenik baz tanımından

 

           a + u0 = 0,   b + v0 = 0   ve   g + w0 = 0     elde edilir. Buna göre,            

 

arakesit noktasının yer vektörü

 

           r = a u* + b v* + g w* = - ( u0 u* + v0 v* + w0 w* )  yapısında elde edilir.

 

Arakesit noktası, üç düzlem denkleminde    r = ( x1 , x2 , x3 )  ve  u = ( u1 , u2 , u3 ),

v = ( v1 , v2 , v3 ), w = ( w1 , w2 , w3 ) ifadelerini kullanarak üç denklemin ortak çözümü olarak ta bulunabilir.

 

7. Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Dik Uzaklığını Bulmak

 

Düzlem  P ( x ) º u1 x1 + u2 x2 + u0 º u . r + u0 = 0   kartezyen denklemi ile verilmiş olsun. Düzlemin içinde bulunmayan P noktasının P düzlemi üzerindeki ayak noktası (dik izdüşüm noktası) Q ve yer vektörleri sırasıyla p ve q olmak üzere düzlemin u dikme vektörü QP vektörüne paralel olacağından,

                                     

QP = p – q = l u   veya   q = p - l u   yazılabilir.

 

Q noktası P düzlemi içinde olduğundan düzlem denklemini sağlar ( P ( Q ) = 0 ), yani,

 

P ( Q ) º u . ( p - l u ) + u0 = 0 ise l = u . p + u0    veya  l = P ( P )   dir.

                                                                      u2                                          u2

 

Bu durumda,            q = p - P ( P ) u =  1  { ( u . u ) p - ( u . p ) u - u0 u }    veya

                                                  u2           u2

                                 q = ( u x p ) x u - u0 u     bulunur.

                                                      u2

 

P noktasının P düzlemine olan dik uzaklığını l  ile gösterirsek;

 

                 l 2 = ( p – q )2 = l2 u2 = P2 ( P ) u2 = P2 ( P )          olarak bulunur.

                                                         ( u2 )2                  u2

 

P ( P ) ’nin negatif te olabileceği gözönünde tutularak,

 

                 l = P ( P ) = u1 p1 + u2 p2 + u3 p3 + u0         elde edilir.

                         ( u2 )1/2        ( u12 + u22 + u32 )1/2

 

8. Bir noktanın Bir Düzleme Göre Simetriğini Bulmak

 

P noktasının P düzlemine göre simetriği P¢ ise  simetri tanımından

 

           2 PQ = PP¢ veya  p¢ = 2 q - p    olduğundan

 

           p¢ = p - 2 P ( P ) u      bulunur.

                               u2                                            

 

9. İki Düzlemin Açıortay Düzlemlerinin Denklemlerini Bulmak

 

İki düzleme de eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bir düzlem çifti olup verilen düzlemlerin Açıortay Düzlemleri denir.

 

Açıortay düzlemleri üzerindeki her noktanın, iki düzleme olan dik uzaklıkları eşit olacağından, kartezyen denklemleri,

 

                u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 + u0 = 0   ve    u1¢ x1 + u2¢ x2 + u3¢ x3 + u0¢ = 0

 

olan düzlemlerin Açıortaylarının denklemleri;

 

                u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 + u0   _   u1¢ x1 + u2¢ x2 + u3¢ x3 + u0¢  = 0  yapısındadır.

                     ( u12 + u22 + u32 )1/2     +        ( u1¢2 + u2¢2 + u3¢2 )1/2     

 

10. Bir Düzlem Demetinin Denklemini Yazmak

 

Tanım: Aynı bir doğrudan geçen veya paralel olan düzlemler kümesine bir Düzlem Demeti denir. Demetin bütün düzlemlerinin geçtiği sabit doğruya Demetin Ekseni veya Tepe Doğrusu adı verilir. Demetin bütün düzlemlerinin paralel olmaları durumunda demetin Tepe Doğrusu sonsuza atılmıştır denir.

 

Demetin farklı herhangi iki düzleminin denklemleri,

 

P º u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 + u0 = 0   ve  P¢º u1¢ x1 + u2¢ x2 + u3¢ x3 + u¢0 = 0     olsun.

                

Bu durumda demete ait herhangi bir düzlemin denklemi;

 

 Pl º P + l P¢ º ( u1 + l u1¢ ) x1 + ( u2 + l u2¢ ) x2 + ( u3 + l u3¢ ) x3 + ( u0 + l u0¢ ) = 0

                 

şeklinde yazılabilir. Gerçekten, " l Î Â değeri için  Pl  düzlemi P  ve  P¢  düzlemlerinin arakesit doğrusundan geçer. Çünkü, bu iki düzlemin arakesit doğrusu üzerindeki her nokta  P + l P¢  ifadesinin her bir terimini ayrı ayrı sıfır yapar. Buna göre l  nın her değerine demetin tek bir düzlemi, tersine demetin her düzlemine de tek bir l değeri karşılık gelir.

 

11. Dört Noktanın  Aynı Bir Düzlemde Bulunması Şartını Yazmak

 

Verilen noktalar A = ( ai ) , B = ( bi ) , C = ( ci ) ve D = ( di ) ,  i = 1 , 2 , 3  olsun. Bu dört noktanın aynı bir düzlem içinde olması şartı; her birinin aynı bir                      u1x1 + u2x2 + u3x3 + u0 = 0 düzlem denklemini sağlaması şartıdır. Bu ise bilinmeyenleri u1, u2, u3, u0  olan ve dört denklemden oluşan homojen bir denklem sisteminin çözümünün olması koşuludur:

 


                     u1 a1 + u2 a2 + u3 a3 + u0  = 0            

                     u1 b1 + u2 b2 + u3 b3 + u0 = 0            

                     u1 c1 + u2 c2 + u3 c3 + u0  = 0            

                     u1 d1 + u2 d2 + u3 d3 + u0 = 0               

 

denklem sisteminin çözümünün olabilmesi için,

 

                             olmalıdır.

 

12. Dört Düzlemin Aynı Bir Noktada Kesişmesi Şartını Yazmak

 

Verilen düzlemlerin denklemleri    

 

              

 

olsun. Bu dört düzlemin aynı bir noktadan geçmesi şartı;                      

 

bilinmeyenleri  x1, x2, x3 olan ve dört düzlem denkleminden oluşan bir homojen olmayan denklem sisteminin çözümünün olması koşuludur:

 


                          u1  x1 + u2 x2 + u3 x3 + u0 =  0     

                          v1  x1 + v2 x2 + v3 x3 + v0 =  0     

                          w1 x1+ w2 x2 + w3 x3 + w0 = 0     

                          n1  x1 + n2 x2 + n3  x3 + n0  = 0     

 


Denklem sisteminde  u0, v0, w0, n0  ın hepsi birden sıfır olamaz. Aksi halde, dört düzlemin ortak noktası ( 0 , 0 , 0 ) olurdu. O halde  x1, x2, x3   den en az biri ¹ 0  dır. Bu durumda  x1 ¹ 0 varsayımı altında

 

                

 


tanımlarını yaparsak dört düzlemin aynı bir noktadan geçme şartı problem 11  de olduğu gibi

 

                   

                            olmasıdır.