Coordonnées : milieu - distance - vecteur

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Le plan est rapporté à un repère (O , I , J)

1 ) Coordonnées et milieu :

a ) Coordonnées du milieu d'un segment

Soit A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B).

Si K est le milieu de [AB] alors les coordonnées de K se calculent de la manière suivante :

b ) Exemple :

Soit M (-5 ; 4) et N (7 ; -6)

Placer M et N dans le repère.

Calculer les coordonnées du milieu J de [MN]

Les coordonnées de J sont :

Donc J(1 ; -1) est le milieu de [MN]

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2 ) Distance de deux points dans un repère orthonormal :

a ) Définition :

Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB).

On applique la propriété de Pythagore dans le triangle AHB rectangle en H

Dans un repère orthonormal, la distance de A à B est :

b ) Exemple :

Soit A(4 ; 2), B (-4 ;1) et C(3 ; 5).

Calculer les longueurs BC et BA

Quelle est la nature du triangle ABC ?

AB² = (-4 - 4)² + (1 - 2)²

AB = ˆ65

BC² = (3 -( -4))2 + (5 - 1)2

BC² = 49 + 16 =65

BC = ˆ65

AB = BC. Le triangle ABC a deux côté égaux, c'est un triangle isocèle en B

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4 ) Coordonnées d'un vecteur :

Soient les points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) dans un repère (O ; I ; J)

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5 ) Coordonnées et translation :

Enoncé :

Dans un repère orthonormal, placer les points A(2 ; 1), B(7 ; 2), C(3 ; -2) et D(-2 ; -3).

a ) Prouver par le calcul que ABCD est un parallélogramme.
b ) Quelle est l'image du point C dans la translation de vecteur DA ? justifier la réponse.
c ) Calculer les coordonnées du point E, image du point A par la translation de vecteur DA.

Réponse :

Figure :

a ) Prouvons que ABCD est un parallélogramme.

donc E(6 ; 5)